またまた過渡現象

今度はコンデンサ。
R2//CがR1およびSWと直列接続。
R2//C+R1+SWの両端にEがかかっています。
Cの初期電圧はV0。このときのCの電流をもとめます。
SWは時刻０で、オフよりオンになります。

このときのCの時刻０における初期電流がわかりません。
教えて下さいお願いします。

-------E----------
---R2---R1---SW---
---C---

No.7 ベストアンサー 回答者： foobar 回答日時： 2007/03/22 06:32

以下、余談ですが、、

t=0でV0がある。
SWを周期的にON/OFFしているときに、ONした後の挙動を見るときなど、こういう初期条件（というか境界条件）を使うことは多いです。

t<0
t>=0での挙動を考える際に、
t=0での初期条件（というか境界条件）を決めることで、逆にt<0で回路がどういう動作をしていたか（電源電圧がどうであったか、SWがどうON/OFFしていたか等）を考えずに済むようになります。(t<0での回路の動作の結果が、すべて、初期条件として考慮される（反映される）ので）

No.6 回答者： inara 回答日時： 2007/03/21 23:47

>初期状態では、Lは電流源、Cは電圧源と考えれば良いのですね

L が電流源（内部抵抗が∞）とは良い「たとえ」ですね。C の電圧は t = 0 では変化しないから確かに電圧源（内部抵抗0）ですね。

foobar さんの指摘を考慮して結果をまとめると
-------------------------------------------------------------
【初期条件】
i1(0) = ( E - V0 )/R1、i2(0) = V0/R2 、ic(0) = - V0/R2 + ( E - V0 )/R1
【電流・電圧方程式】
i2(t) + ic(t) = i1(t)
R2*i2(t) = 1/C∫ic(t) dt → R2*d{ i2(t) }/dt = ic(t)/C
E = R1*i1(t) + R2*i2(t) → 0 = R1*d{ i1(t) }/dt + R2*d{ i2(t) }/dt
-------------------------------------------------------------
となります。最終目的が ic(t) を求めるのであれば、電流・電圧方程式の３式から i1(t) と　i2(t) を消して、ic(t) に関する微分方程式にもっていって、初期条件 ic(0) = - V0/R2 + ( E - V0 )/R1 から ic(t) が出るはずです。次は LCR 回路かな？

No.5 回答者： inara 回答日時： 2007/03/21 11:57

>R2の初期電流は0にはならないような、、。

t = 0 では C の電圧は V0 でしたね。
t = 0 では 電流は R2 を通らず、C を流れるという状況を考えれば
i2(0) = V0/R2 で、ic(0) = - V0/R2 + i1(0) ですね。

t = 0 で C の電圧が V0 という初期条件にまんまと引っかかってしまいました（ 回路の問題なので、t < 0 は考えなくてもいいはずですが、実際には変な条件です）。コメントありがとうございます。

この回答への補足

なんとなく理解はできたと思います。
初期状態では、Lは電流源、Cは電圧源と考えれば良いのですね。
電流源の内部抵抗は∞
電圧源の内部抵抗は０という条件つきです。
従って、
i2(0)=V0/R2
という答えになっています。

補足日時：2007/03/21 22:03

No.4 回答者： foobar 回答日時： 2007/03/21 11:25

若干コメント

R2の初期電流は0にはならないような、、。
(0にしちゃうと、R2の両端電圧が t=0で0になって、R2-Cの閉回路でキルヒホッフの第二法則を満足しなくなってしまいます。)

No.3 回答者： inara 回答日時： 2007/03/21 10:57

前回のLR回路ではポイントを頂きましたが、はたして理解できたのでしょうか？理解できたなら簡単なはずですが。

【過渡現象でのL・Cの振る舞い】
・L は電流が変化する瞬間（ t = 0 ）の抵抗は無限大（ i(0) = 0 )、t → ∞（定常状態）での抵抗はゼロ（電流値は回路による）
・C は電流が変化する瞬間（ t = 0 ）の抵抗はゼロ（電流値は回路による）、t → ∞（定常状態）での抵抗は無限大（i(∞) = 0 )

まず、R1 に流れる電流を i1(t)、R2 に流れる電流を i2(t)、C に流れる電流を ic(t) とします。これ以降、電圧の基準 （0V) を R2 の左側とし、電流の向きは左側に流れる場合を正（＋）として話を進めます。

t = 0 のとき、 R1 の左側の電圧は V0 で、R1 の右側には E の電圧が加わりますので、t = 0 の瞬間（t =0 のときだけ）、R1に流れる電流は
i1(0) = ( E - V0 )/R1 --- (1)
となります。

次に「電流連続の法則」を使います。前にも言いましたが、電流は時間に対して連続でなければならないという法則はありませんが、場所に対しては連続でなければなりませんから
i2(t) + ic(t) = i1(t) --- (2)
がいつでも（どんな t でも）成り立ちます。式(2)を変形すれば
ic(t) = i1(t) - i2(t) --- (2')
となります。この式は、foobar さんのコメント「Cには両電流の差分が流れます」を表したものです。これは t = 0 でも成り立つので、 ic(0) = i1(0) - i2(0) = ( E - V0 )/R1 - i2(0) となります。

では、R2 に流れる電流の初期値 i2(0) はいくつなのでしょうか。答えはゼロです。最初の「素子の振る舞い」で書いたように、「C は電流が変化する瞬間（ t = 0 ）の抵抗はゼロ」ですから、R1 に流れ始めた電流は、抵抗の大きい R2 を通らず、C を通ります（ これは t = 0 の瞬間だけの話です）。したがって各素子の電流の初期値は
i2(0) = 0、ic(0) = i1(0) = ( E - V0 )/R1 --- (3)
となります。

質問は初期値についてですのでこれで終わりますが、これ以降は解けますか？方程式だけ書きますので自分で解いてみてください。
R2 とC の両端の電圧は等しいから、R2*i2(t) = 1/C∫ic(t) dt --- (4)
R1 と R2 の両端の電圧の和は E だから、E = R1*i1(t) + R2*i2(t) --- (5)

No.2 回答者： foobar 回答日時： 2007/03/20 08:51

「Cの初期電圧はV0」はどの時刻ででしょうか?

t=0(SWがオンする直前)でCの電圧がV0なら、
・コンデンサの電圧は急には変わらない、というのを利用して、 R2とR1を流れる電流がそれぞれ計算できる
・Cには両電流の差分が流れる
という手順で、初期電流を計算できるかと思います。

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2007/03/20 00:55

理想的なスイッチであればオンになった瞬間は、Ｃは短絡されているのと同じです。

したがって、初期電流はE/R1です。
オンになった瞬間は、傾き無限大＝（周波数無限大）の電圧がかかりますから、Ｃのインピーダンスを考えれば、1/sCより、インピーダンス０ですね。