a^x=b^yとy=(loga/logb)xの数学的類似点と相違点

この二つの式は式だけ見ると全く異なるもののように見えても同じような関係があるようですが、数学的にはどのような意味があるのでしょうか。

No.1 回答者： info22 回答日時： 2007/04/23 12:15

a^x=b^y　　　　…　(1)

y=(loga/logb)x　… (2)

(2)は両辺の対数をとって logbで割った式ですね。
b≠1であれば同じ関係を表していますね。

logbで割るという事がlogbがゼロでないこと、
つまり b≠1 でないことが(2)では暗黙の条件になります。
(1)ではb＝1も含まれています。

(1)で
b=1とおくと
b^y＝1^y＝1，yは任意の実数
a^x＝1→ a＝1またはx＝0

(2)ではb＝1の時yは定義なしですね。

この回答へのお礼

ご教示ありがとうございます。（１）式を見て直線のグラフと似ているのでこの指数方程式（？）は結局一種の直線を示すものなのだろうかと思ったわけです。

お礼日時：2007/04/24 20:27

No.2 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/04/23 13:06

＞＞同じような関係があるようですが、

a^x=b^y　　
　　　　　　　　
底をｅとして、両辺の対数をとると、
Ｌｏｇ（Ａ＾Ｘ）＝Ｌｏｇ（Ｂ＾Ｙ）
対数の性質より
Ｘ＊ＬｏｇＡ＝Ｙ＊ＬｏｇＢ
両辺を入れ替えて
Ｙ＊ＬｏｇＢ＝Ｘ＊ＬｏｇＡ

Ｙ＝（ＬｏｇＡ／ＬｏｇＢ）＊Ｘ
そうなりますが、瞬時には見えませんでした。
ーーー
＞＞数学的にはどのような意味があるのでしょうか
＞＞数学的類似点と相違点

a^x=b^y　と　y=(loga/logb)x

感覚的には、ＸとＹが比例しているとかんじますが、
説明となると、

Ａ＝ｅ＾ＬｏｇＡ
Ｂ＝ｅ＾ＬｏｇＢ

（ｅ＾ＬｏｇＡ）＾Ｘ＝（ｅ＾ＬｏｇＢ）＾Ｙ
ｅ＾ＬｏｇＡ＊Ｘ＝ｅ＾ＬｏｇＢ＊Ｙ

とでもしないと、比例は説明し難いです。

＞＞a^x=b^y

無理に説明となると、
Ｘを２倍したら、Ｙも２倍。
Ｘを３倍したら、Ｙも３倍。

これでも、
a^2x=b^2y
(a^x)^2=(b^2)^2
a^x=b^y

これを＜頭の中で出来れば＞自然に比例となりますが。

＞＞相違点

これが、難問
（普通なら、形式が違うだけで同値、相違点はない。・・・と、お茶をにごしますが）

貴殿への回答となると、悩みます。

＜形式が違うと、式の意味が違ってきます。＞

ひとつの例ですが、サイコロを振って３の倍数の目が出る確率、
２／６＝１／３
２／６　はサイコロの目が６個の意味を保っています。
１／３　は（約束に従い、簡単な数で表す）だけであり、

解答としても、２／６　が好きです。

y=(loga/logb)x　は比例が見え易いが、
a^x=b^y　は形が美しい。

おそらく、＜a^x=b^yとy=(loga/logb)xの相違点＞は回答できないとは思いますが、考えては見ます。

それでは、また。
ーーー

この回答へのお礼

懇切なご教示を感謝いたします。ｙ＝ａｘから指数方程式（？）を連想することはほとんど不可能だと思いました。

お礼日時：2007/04/24 20:33

No.3 回答者： staratras 回答日時： 2007/04/23 23:09

a^x=b^y　…(1)　y=(loga/logb)x　…(2)　とします

No１．２の方の回答の通り(1)を変形すると(2)が導かれます

ただし(2)は対数の形式をとっていますのでa＞０　b＞０が大前提です
（真数条件）　　また分母にlogbが来ますので　b≠１でもあります

(1)は指数ですので、a,bは負の数でもかまいません
例えばa＝－２　b＝－４　x＝４　y＝２　のとき(1)は成り立ちますが
(2)はだめです　ここが大きな違いだと思います

この回答へのお礼

直線関係であらわされる具体的な事象は沢山ありますが、（１）式で表されるような事象が存在しているとしてこれはやはり直線関係としてしか理解されないのでしょうか。ご教示のような違いに気がつけばやはり直線関係ではないことになるのでしょうか。ありがとうございました。

お礼日時：2007/04/24 20:38

No.4 ベストアンサー 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/04/25 19:53

＃２です。

此の原稿は、数日前に書き上げたのですですが、クリティークを含みますので、投稿を躊躇して断念しました。また、そのため敢えて段落を区切らず読み難く記述してあります。
しかるに、貴殿の補足

＞＞やはり直線関係ではないことになるのでしょうか

を読み＜これは、まずい＞と思い原文のまま投稿します。

○ふたつの式は直線関係です。

結論から言うと、ｂがなんとか、かんとかいうのは誠にもって些事であり、大局的に見てふたつの式は＜同値＞です。その論証も含んでいます。

ーーー
原文

些事ながら、質問者者様の＜意図＞の解釈が先です。当方も若干＜過敏にはなっていますが。＞
＞＞　a＞０　b＞０が大前提です
＞＞（真数条件）　
一寸、学習不足です。真数条件は、＜高校の範囲です＞。複素数の範囲でみれば、log（－１０）の存在は常識です。敷衍すると、オイラーの式を否定しています。
＞＞　また分母にlogbが来ますので　b≠１でもあります
b＝１であっても、log［１］Ａは成立します。log［１］Ａ＝０、となるため、Ａ＝１としかなりませんので、対数として意味をもちません。かくなる、理由でb≠１　としているだけで、式は成立します。また、b＝１なら０で割ることになる点についても、分数の意味を＜割り算としか、見えない点にあります。分数は＜比として＞の意味があります。５／０＝１０／Ｘ　として、５：０＝１０：Ｘ　の解釈は可能です。この事項は時に遭遇します。これを回避する、するために、０／５＝Ｘ／１０とします。同様に元の式が、y（logb）＝x(loga）なので、x＝（logb）/(loga）y　とすれば、回避できます。＜じゃあ、a＝b＝１だったらと、きかれそうそうなので＞、y（logb）＝x(loga）　は　０＝０　　となり意味を持ちませんが、成立はします。また、この場合　a^x=b^y　も　１＾ｘ＝１＾ｙ　となり、やはり無意味な式です。
＞＞(1)は指数ですので、a,bは負の数でもかまいません
この点は、誤謬を指摘済みです。
＞＞例えばa＝－２　b＝－４　x＝４　y＝２　
この記述の中に＜無意識＞に避けている部分があります。つまり、a^x=b^yで、＜実数＞になる数値だけをえらんでいます。当然ながら、任意に選べば＜虚数＞になるＣＡＳＥが多いのです。a＝－１、x＝１/2 とでもすれば、虚数になるのは論をまちません。質問者様は、オイラーの式もご存知です。複素数の範囲で、a^x=b^yとy=(loga/logb)xが同値であることは、余りにも明白です。質問文を読むと、＜そんな話ではない＞ことくらいは、洞察して欲しいです。当方は、数学は学びましたが、あまりにも浅学故に時として質問者様の投稿に自分の中に存在していたはずの数の世界が消失の危機に瀕しています。これは誇張ではありません、今まで何度か投稿しかけましたが推敲がまとまらず締め切りに間に合いませんでした。今回珍しく回答できそうだったので不完全を承知で投稿させて頂きました。
ーーー

この回答へのお礼

私の浅い疑問を深く掘り下げてご教示いただき文字どうり恐縮いたしております。ご教示の文面をこれから繰り返し拝読し、少しでも数学の世界に触れたいと考えております。これからも素朴な疑問を投稿いたすかもしれませんがどうぞよろしくお願い申し上げます。

お礼日時：2007/04/26 00:14