線電荷による電位

Question

単位長さあたりq[C]の無限直線の線電荷から距離aだけ離れた点の電位を求めたいのですが。
電界はE=q/4πε0a[V/m]となったのですが、ここから電位を求めるにはどうすればいいのでしょうか？点電荷だと-∫[∞→r]Edrというような感じで求めることができると思いますが、線電荷の場合はどうなのでしょう？

siegmund · Accepted Answer

電位の基準点は断りがなければ無限遠点にとるのが普通です．
これは，無限遠点はどこから見ても無限遠点なので，
電荷が複数あった場合に基準点を共通に取れると言うことから来ています．
電位というのは標高みたいなものですから，
２つ以上の電荷があるときには基準点を統一しないと直接比較ができないことになります．

でも今の場合は基準点を無限遠点に取ると電位が発散してしまいますので，
この種の問題では「ただし，電位の基準点は線電荷から距離 R の場所とする」
というような但し書きがあるのが普通です．
但し書きがなければ，自分で
「電位の基準点をは無限遠点に取るのが通常だが，
今はそうできないので距離 R の点を基準にした」
などと書いておけば文句のつけようはないでしょう．

電位を単なる電界の不定積分にするのは(少なくとも私は)感心できません．

siegmund · Answer

まず，E=q/4πε0a ではなくて，
(1)　　E=q/2πε_0 r
です．
つまり，4πではなくて 2π です．
あとの都合で a ではなくて r で表していますが，それは本質的ではありません．
また，εに添字で 0 がついていますので，ε_0 と書きました．

電位のφ
(2)　　φ = -∫[∞→r]Edr
は一般的に使える式です．
ただし，∞は無限遠を電位の基準点に採用したことを意味しています．
もし，無限遠以外を基準点に取るのでしたら，その位置が∞の代わりに入ります．

大きさ Q の点電荷ですと，
(3)　　E=Q/4πε_0 r^2
ですから(2)の積分で∞からの寄与は消えて
(4)　　φ = Q/4πε_0 r
が求められますが，今の場合(1)ですので，∞からの寄与は対数発散してしまいます
(1/r を積分すれば log r ですから)．

こういうときは仕方がありませんので，
線電荷から距離 R だけ離れた点を電位の基準点に取るというようにします．
こうしますと
(5)　　φ = -∫[R→r] E dr = (q/2πε_0) log(R/r)
になります．

sanori · Answer

再びお邪魔します。

下記リンクを見つけました。
http://www.ese.yamanashi.ac.jp/~itoyo/lecture/denkigaku/denki03/denki03.htm
電位の基準点を、線電荷の太さδや線電荷の中心にした式になっており、
係数は　q/4πε0　ではなく　κ/4πε0　になってますが。

sanori · Answer

電界Ｅの計算結果は、私は検算していませんが、
距離の１乗に反比例していますから、ちゃんと線電荷での電界の式になってるようですね。

スカラーポテンシャル（電位）を求めるには、電界を積分すればよいですから、
点電荷の場合と同じく、-∫Edr　で良いですよ。
ただし、区間を　∞→ａ　にすると破綻するので、
ｂ→ａ　にしておきます。

－∫Ｅ ｄｒ　（ｒ＝ｂ→ａ）
　＝　－q/(4πε0)・∫dｒ/ｒ　（ｒ＝ｂ→ａ）
　＝　－q/(4πε0)・ln(ｒ)　（ｒ＝ｂ→ａ）
　＝　－q/(4πε0)・[ln(ａ)－ln(ｂ)]
　＝　－q/(4πε0)・[ln(ａ/ｂ)]　　＝　電位

つまり、
ａのｂに対する比で決まるわけです。
言い換えれば、ｂを基準にしてａにおける電位を表示することになります。
ｂ＝１メートル　にしてしまえば、最も簡単です。
（ａ＝１メートル　のところの電位をゼロと設定したことになります。）



電位　＝　－q/(4πε0)・[ln(ａ[メートル])]
　　ａ＝１メートルの場所を０ボルトとする

線電荷による電位

電位の基準点は断りがなければ無限遠点にとるのが普通です．

まず，E=q/4πε0a ではなくて，

再びお邪魔します。

電界Ｅの計算結果は、私は検算していませんが、

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