3.14、、、、

円周率3.14は一体どうやって計算しているのでしょうか？
また電卓の√はどうやって計算しているのでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： puni2 回答日時： 2002/06/25 00:20

円周率のほうだけ，いくつか補足します。

>円周率算出のためのプログラムには著作権があって、一般には公表されていません。
これは，世界記録クラスの桁数を競う世界での話ですが，なかなか熾烈な争いがあるようです。
数千桁，数万桁程度でしたら，いろいろな公式が昔から考案されています。
いちばん形が簡単な公式としては，
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ……（無限に続ける）　＝　π/4
（ライプニッツの公式）
があります。両辺を4倍して
4 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 - 4/11 + ……　＝　π
と考えてもいいですね。
足したり引いたりしながら，だんだんとπに近づいていくので，たとえば小数点以下10桁まで求めたければ，足し引きを続けていって10桁目が変わらなくなったらやめればよいわけです。
もっとも，この公式ではなかなか真の値に近づかない（「収束が遅い」という）ので，手間ばかり掛かってしまいます。
ひところよく使われた公式にMachin（マチン，または，メイチン）の公式があります。これは，式が簡単なわりには収束が比較的早いので，19世紀～20世紀前半の桁数競争（もちろん人間の手計算です）はもっぱらこれが使われました。
また，パソコンでπを求めるプログラムを作る際，最初に手がけるのもたいていこれです。
10年ちょっと前，C言語で書いてみたことがあるのですが，1万桁もとめるのに1分40秒ぐらいかかりました。今のパソコンなら1秒かそこらかもしれません。
式自体は次のようになります。なお，たとえば3*5^3は「3×（5の3乗）」の意味です。

4{1/5 - 1/(3*5^3) + 1/(5*5^5) - 1/(7*5^7) + 1/(9*5^9) - …}－{1/239 - 1/(3*239^3) + 1/(5*239^5) - 1/(7*239^7) + 1/(9*239^9) - …} ＝　π/4

もっとも，コンピュータによる桁数競争の時代に入ってからは，もっと複雑な（手計算には向かない），しかし効率の良い，方法がいろいろと工夫されています。

>そんなにたくさん求めてどうするんだって感じです、
実用性の最も大きな使いみちとしては，スーパーコンピュータのベンチマークテストがあります。
たとえば100億桁を間違いなく求めたということは，数日間動かしっぱなしにして数千億回の計算を間違いなくやってのけたということですから。
ただ，桁数世界記録保持者の金田康正先生が以前「bit」という雑誌（残念ながら休刊になってしまった）で語っていたところによると，日本にいるとすぐ，そんなに求めて何の役に立つのか，とすぐ聞かれるが，外国ではまず聞かれたことがないそうです。
ご本人も，実用性は2番めで，最大の理由は単に計算したいからだそうです。「なぜエベレストにのぼるのか」と聞かれて「そこに山があるから」と答えたイギリス人を思い出させます。

No.3 回答者： anoko 回答日時： 2002/06/24 21:44

四則演算でルートを求めるアルゴリズムを作ったときに、コンピュータもその方法を使っていると聞いたので、紹介します。

ある数をxとし、適当な正の数（例えば1）をaとします。
x÷aを行い、商bを求めます。
a≠bのとき、aとbの平均を求め、それを新しいaにします。
aとbが十分近くなるまでこれを繰り返します。
それがルートの答えになります。

No.2 回答者： Mell-Lily 回答日時： 2002/06/24 03:48

円周率の計算の歴史は、数学の歴史と同じぐらい長いものです。

円周率と言いますと、3.14と覚えさせられますが、この数値を初めて計算した人は、かのアルキメデスであると考えられています。彼は、円に内外接する二つの正多角形の周の長さから、円周の範囲を割り出しました。正6角形から始めて、正12、正24、正48、正96角形まで計算し、3.14をはじき出したのです。その後、色々な人が円周率の計算に挑戦し、段々と円周率の精度が上がっていきました。しかし、その方法は、基本的にアルキメデスの方法の延長線にありました。大きな飛躍は、微積分法の発見によってもたらされました。これによって、多くの円周率の公式が作られました。次の飛躍は、電子計算機の登場によってもたらされました。これによって、数百億桁の円周率の計算が可能となったのです。現在では、円周率の計算は、計算機の性能の目安にもなっています。因みに、円周率算出のためのプログラムには著作権があって、一般には公表されていません。

ルートは、実際に計算してみれば、手計算で求めることができます。
例えば、√41ならば、6^2=36,7^2=49ですから、
　6<√41<7
6.3^2=39.69,6.4^2=40.96,6.5^2=42.25ですから、
　6.4<√41<6.5
以下同様に精度を上げていきます。この手順をプログラムに書けば、コンピューターで計算することができます。これは、パソコンでもできます。実際の計算機の場合は、最初に基本的な数値を覚え込ませておいて、それらを利用して求めるという方法も取られます。因みに、コンピューターでは、無理数を扱うことはできないそうです。コンピューターは有限桁数しか扱えないので、範囲をとることで擬似的に無理数を扱うということです。

参考URL：http://www1.fctv.ne.jp/~ken-yao/Paipai.htm

この回答へのお礼

ありがとうございます、とっても詳しいですね、
なんか気が遠くなるような、、、、、、、、、
そんなにたくさん求めてどうするんだって感じです、
それを言っちゃおしまいですか（爆）

お礼日時：2002/06/24 14:24

No.1 回答者： wogota 回答日時： 2002/06/24 00:01

円周率についてだけですが・・・

円周率の計算には非常に長い歴史があります。
詳細な話は下記のページを参照していただくと
いいかなと思います。

参考URL：http://www1.coralnet.or.jp/kusuto/PI/index.html

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2002/06/24 14:22