なぜtanzは周期πの周期関数なのか？？

タイトルと同じですが、なぜそのようになるんでしょうか？
力をお貸しくださいｍ（＿＿）ｍ

No.4 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2007/06/10 07:48

　定義から三角関数の加法定理を導き出して、sinとcosの関係からtanの周期性を導き出せばOKです。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92% …

　z=x+iyとすると、
　　sin(z)
　＝[exp{i(x+iy)}-exp{-i(x+iy)}]/(2i)
　＝{cos(x)+i・sin(x)}exp(-y)/(2i)-{cos(x)-i・sin(x)}exp(y)/(2i)
　＝sin(x){exp(y)+exp(-y)}/2+i・cos(x){exp(y)-exp(y)}/2
　＝sin(x)・cosh(y)+i・cos(x)・sinh(y)

　同様にして、
　　cos(z)＝cos(x)・cosh(y)-i・sin(x)・sinh(y)

　z'=z+πのとき
　　sin(z+π)
　＝sin(x+π)・cosh(y)+i・cos(x+π)・sinh(y)
　＝-sin(x)・cosh(y)-i・cos(x)・sinh(y)
　＝-sin(z)

　　cos(z+π)
　＝cos(x+π)・cosh(y)-i・sin(x+π)・sinh(y)
　＝-cos(x)・cosh(y)+i・sin(x)・sinh(y)
　＝-cos(z)

　∴tan(z+π)＝sin(z+π)/cos(z+π)
　　　　　　　＝{-sin(z+π)}/{-cos(z+π)}
　　　　　　　＝tan(z)

No.3 回答者： kabaokaba 回答日時： 2007/06/09 20:03

三角関数は半径1の円周上の点から作られます．

x座標が cos，
y座標が sin，
そして，原点とその点を通る直線の傾きが tan です．
直線の傾きなんだから180度ちがっても同じです．

No.2 回答者： fjnobu 回答日時： 2007/06/09 18:31

πは１８０度ですね。

Tanは１８０度で繰り返します。だからそのようになります。

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2007/06/09 18:27

tanz = tan(z+π) であれば、tanzの周期がπということになります。

tan(z+π) = sin(z+π)/cos(z+π)

ここで、
sin(z+π) = -sinz
cos(z+π) = -cosz

よって、
tan(z+π) = (-sinz)/(-cosz) = sinz/cosz = tanz