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分極電荷密度を求めるときに使う式は
-σ=-p
=ε0(εr-1)E|r=a
なのですが、問題でもし真空でなくて誘電体中側の導体表面に表れる分極電荷密度を求めるときは、どうしたらいいですか?

A 回答 (1件)

分極とはどういう現象か簡潔に補足に書け

この回答への補足

電界や磁界内に置かれた物質に、正・負の電荷が現れたり、磁極を生じたりする現象ですよ。

補足日時:2007/09/16 20:20
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Q誘電体球の分極電荷密度について

半径aの誘電体球(線形常誘電体 P = ε0 χ E)の中心に電荷 q (>0)をおいた。この場合の電気分極を求め、分極電荷密度を求めよ。
という問題なんですが
ρp = -∇・P=-∇・ε0 χ E=0という誤った答えになってしまいます。
よろしければどこが間違っているのかと詳しい計算式を教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

(1)  ρp = -∇・P=-∇・ε0 χ E
は分極電荷の【体積密度】と与える式です.
で,ゼロになるというわけですが,
これは誘電体中(中心を除く)および誘電体外側(つまり真空中)では間違っていません.
ただし,誘電体中心と誘電体表面ではちょっと難しいことになります.
誘電体中心と誘電体表面では電場の E が不連続にジャンプしますから,
そこでの微分(∇)をどうするかが問題です.
δ関数をご存知なら,それを使う.
あるいは積分形にしてガウスの法則を使う,というのがよろしいでしょう.

今の問題では,分極電荷は中心と誘電体表面にのみ存在します.
前者は1点のみ,後者は面のみ,ですから,
無理に体積密度というなら無限大になってしまいます.

Q誘電体中の導体、分極電荷などについて。

【導体が誘電率εの誘電体に囲まれているとき、真電荷の面密度ρとすると、
1:導体表面の前方の電場
2:分極電荷の面密度
はいくらか】

という問題があるのですが、真電荷というのは、導体の表面にある電荷のことですよね。その電荷に引き寄せられてマイナスの電荷が全体として導体の方を向いている、そのマイナス分を分極電荷という、と思います。(そういう理解です。)

質問なのですが、この「2」の出し方が分かりません。「1」は導体表面に微小面積dsをとって、電荷ρdsが作る電場…という具合に解いていくと思うのですが、「2」の方はよく分かりせん。解答を見ると、分極による表面密度をpとすると
EdS = 1/ε0(ρdS+pdS)
と式を立てているのですが…。なぜ「1」で求めたEをそのまま使っているのか分かりません。このEは表面の電荷だけが作ったEだから、分極電荷を式に入れたら、また違うのでは…?という曖昧な感じです。

導体の表面の電荷と分極電荷と電場の関係がよく分かりません。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

質問の後半に,
>なぜ「1」で求めたEをそのまま使っているのか分かりません。このEは表面の電荷だけが作ったEだから、分極電荷を式に入れたら、また違うのでは…?という曖昧な感じです。
とありましたが,「このEは表面の電荷だけが作ったEだから」という文をみて,こう思いました。

1:で求めたE(ρ/ε)は,僕の解答通りなら,誘電体内の電界です。つまり,導体表面の電荷が作ったEではなく,分極電荷の影響も考慮された電界です。だから,2:で,このEを使って解けるのです。
導体と誘電体が密着している場合は「1:導体表面の前方の電場」とは,誘電体の分極電荷のちょっと外側の電界です。この問題はこの設定だと思います。

それに対し,導体と誘電体の間に真空の隙間がある場合は「1:導体表面の前方の電場」とは,導体と誘電体の隙間の電界です。これはE=ρ/ε0 となりますが,誘電分極を考慮していません。この電界で2:は解けません。
nabewariさんはこの状態と勘違いしたのかな?と思ったのです。
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僕の考えたこの問題のイメージとして,正に帯電した導体の球の回りに,誘電体が密着してぐるりと覆っていると思ってください。
1:は導体のちょっと外側の電界を出せという問題です。負の誘電分極が内部にありますので,誘電分極に左右されない ∫∫Dds=Q(真電荷) …(1) で,電束密度をだし,D=εE …(3) を利用して電界を出しました。
2:で誘電分極を出せという問題は,誘電分極が入った式 ε0∫∫Eds=Q+Q'(真電荷+分極電荷)…(2) に1:のEを代入して出しました。 
----------------------------------------

文が分かりづらくてすみません。-----------の間だけ見てくれた方が分かるかも・・

質問の後半に,
>なぜ「1」で求めたEをそのまま使っているのか分かりません。このEは表面の電荷だけが作ったEだから、分極電荷を式に入れたら、また違うのでは…?という曖昧な感じです。
とありましたが,「このEは表面の電荷だけが作ったEだから」という文をみて,こう思いました。

1:で求めたE(ρ/ε)は,僕の解答通りなら,誘電体内の電界です。つまり,導体表面の電荷が作ったEではなく,分極電荷の影響も考慮された電界です。だから,2:で,このEを使って解けるのです。
導体と誘電体が密着して...続きを読む

Q電束密度(電界の強さ)と、平行板コンデンサの電界の強さ

電束密度(電界の強さ)と、平行板コンデンサの電界の強さ

Aベストアンサー

回答としては、両者に違いはありません。
どちらで算出しても、電界の強さは同じです。
コンデンサーの電界の計算の場合は、電極間の電位差と極板間の距離がわかるのであれば、E=V/dで算出すればいいわけです。
コンデンサーの電極間に直列に誘電率の違う誘電体が挟まれている場合は、誘電体間の電位差が異なりますから、電束密度が一定である事を利用して、誘電体間の電位差を計算して、コンデンサー内の電界の強さの勾配を計算できます。
電極の電荷量と誘電体の誘電率が与えられている場合は、電束密度から電界の強さを算出する事しかできません。
つまり、計算しやすい方法を選べば良いと言う事です。

Q誘電体内の電界が分かりません

「真空中の誘電率をε0とする。面積Sの2枚の金属版が間隔dで置かれている並行平板コンデンサがある。このコンデンサにVの電圧を印加している時の平板間の電界をE0とする。今、電圧を印加したまま、比誘電率εsの誘電体を、平板間を満たすように挿入すると、(電源から新たに電荷が供給される前の)平板間の電界はEとなった。誘電体内で静電誘導が起こったことによって発生する内部電界をEpとおくと、
  E = E0 - Ep (1)
が成り立つ。ここで分極ベクトルを考えると、その大きさは平板における分極電荷(面積)密度σpとなる。よって電気感受率Xを用いると
  σp = ε0XE (2)
で表せる。この式を(1)に代入すると
  σp/(ε0X) = E0 - σp/ε0 (3)
となるから、
  σp = ε0XEo/(1+X) (4)
となる。」
という説明があるのですが、なぜ(3)式右辺の第二項がσp/ε0になるのか分かりません。

真空中に存在する導体について、その表面電荷密度がσであるなら、表面での電界は、その点に垂直な方向にσ/ε0である。ということはガウスの法則から導かれると思うのですが、なぜ比誘電率εsの誘電体内において電界Epがσp/ε0となるのか分かりません

ご回答よろしくお願いします

「真空中の誘電率をε0とする。面積Sの2枚の金属版が間隔dで置かれている並行平板コンデンサがある。このコンデンサにVの電圧を印加している時の平板間の電界をE0とする。今、電圧を印加したまま、比誘電率εsの誘電体を、平板間を満たすように挿入すると、(電源から新たに電荷が供給される前の)平板間の電界はEとなった。誘電体内で静電誘導が起こったことによって発生する内部電界をEpとおくと、
  E = E0 - Ep (1)
が成り立つ。ここで分極ベクトルを考えると、その大きさは平板における分極電荷(面積)密度...続きを読む

Aベストアンサー

 自分も最初は、けっこう戸惑いましたが、結局どんな電荷密度から発生した電場も真空を伝わるのだ、というのが古典電磁気学の物質モデルだからです。

 古典電磁気学において電場は、真空によってしか伝播されません。誘電体があるとそこの真空の性質が、誘電体という物質の性質に置き換わって誘電率が、ε0(1+χ)に変化するように見えますが、これは現象論だとする立場です。

 何故なら誘電体も原子や分子から出来ており、原子や分子の分極は電荷密度とみなせますが(これはご存知と思います)、分極電荷による電場が、原子や分子を発生源とする以上、それを伝えるのは、原子や分子間の「真空」です。だから、比誘電率εsの誘電体内においても、

  Ep=σp/ε0

なんですよ。後は、

  σp = ε0XE (2)

などが都合よく成り立つように、電気感受率χや比誘電率εsを「数学的に」定義するだけです。要するにχやεsを、形式的に物質定数とみなせる形に、定義しただけなんです。

Q誘電体に働く力がわかりません

「面積S、横幅Lの導体平板が2枚、間隔dを空けて存在する並行平板コンデンサがある。このコンデンサに電圧Vを印加しながら、コンデンサの右端からxのところまで、誘電率εの誘電体で満たした。真空中の誘電率をε0として、誘電体に働く力Fの方向を求めよ。」
という問題がわかりません。

コンデンサに電荷Qを充電して、電源を外し、誘電体を入れる場合には、コンデンサの静電エネルギーW=(Q^2)/2Cであることから
  F = -∂W/∂x > 0
よって誘電体に働く力の向きはxの増加する方向(コンデンサに引き込まれる方向)だと思いました。

ですが、電圧Vを印加したままの状態だと、コンデンサの静電エネルギーW=C(V^2)/2なので
  W = {εSx/(d×L)+ε0S(L-x)/(d×L)}(V^2)/2
  F = -∂W/∂x
= SV^2/(2d×L)(ε0-ε)<0
よって誘電体に働く力の向きはxの減少する方向(コンデンサから追いやられる向き)だと思いました。
これであっているのでしょうか?

Aベストアンサー

考え方が間違っている。

コンデンサの静電エネルギーの変化と誘電体の運動エネルギーの和は保存しません。
保存量でないためF=-∂W/∂xとはできません。

電源がつながっている状態では電源自体が仕事をするのでその影響を考えないといけないのです。
電源がした仕事=コンデンサの静電エネルギーの増加+誘電体の運動エネルギーの増加
になります。
誘電体が中に入った時、コンデンサの静電エネルギーは増大しますが電源の行った仕事はそれ以上に大きいため誘電体の運動エネルギーは増大します。
(電荷量の増加⊿Qとすると電源の行った仕事はV⊿Qとなります。コンデンサの静電エネルギーの増大は(1/2)V⊿Qですので誘電体に(1/2)V⊿Qの仕事がなされるのです。)

Q誘電体入りコンデンサ 誘電体の分極について

電子情報系の学生です。情報は好きなのですが、電気系が得意ではなく電磁気について質問させていただきます。この質問は参考書にケチをつけているわけでなく、自分の理解不足を正していただこうと思って投稿しました。長文になりますがよろしくおねがいします。


まず
一様な電界E0の中に、それに垂直な誘電体(ε)の無限に広い平板を置く。
この時の誘電体表面に現れる分極電荷の面密度を求めよ。
という問題で、
誘電体内の電荷をE0と同じ向きでEと定めると
誘電体の境界面の両側で、電束密度の垂直成分は等しいので、
D=ε0E0=εE  ①
また、面密度σの分極電荷をもつ誘電体表面に垂直にたてた底面積dSの円柱を考え、ガウスの法則を適用すると
ε0(E0ーE)=σdS  ②
2式より
σ=ε0(ε-ε0)E0/ε

これはわかるのですが、
距離dの無限に広い平板コンデンサの極板間をεの誘電体でみたし電位差Vを与えた時の誘電体の表面に現れる分極電荷を求めよ。
という問題で。
回答では
上の①②の式をそのまま引用してほぼ同じように解いています。
ただ疑問なのが、まず①で、平板コンデンサの外側の電界はどうなっているのか、電圧をかけた平板コンデンサの外側と誘電体内でも同じ境界条件がなりたつのか。
あと、一番わけわかんないのは②で、前問では誘電体しかなかったから問題なかったが、コンデンサの極板も電荷を持っているから、コンデンサの極板に分布する電荷の面密度をΣとすると②の左辺はσdSではなく(Σ-σ)dSのようにならないのか?

できればわかりやすく解説お願いします。

電子情報系の学生です。情報は好きなのですが、電気系が得意ではなく電磁気について質問させていただきます。この質問は参考書にケチをつけているわけでなく、自分の理解不足を正していただこうと思って投稿しました。長文になりますがよろしくおねがいします。


まず
一様な電界E0の中に、それに垂直な誘電体(ε)の無限に広い平板を置く。
この時の誘電体表面に現れる分極電荷の面密度を求めよ。
という問題で、
誘電体内の電荷をE0と同じ向きでEと定めると
誘電体の境界面の両側で、電束密度の垂直成...続きを読む

Aベストアンサー

お礼ありがとうございます。
静電分極された面の電極に静電分極された電荷と逆の電荷が集まります。
これは、静電分極された電荷と同じ数だけです。
その電荷の数が静電容量です。
誘電体の誘電率により、与えられた電圧に対する静電分極された電荷の数が変ります。
つまり、静電容量が変ります。
電極は、誘電体をはさんだ逆側の電極の電荷に静電誘導され、等電位面を作ります。
静電誘導される電荷の数は、電圧と誘電率により決まります。
つまり、静電分極された電荷の数と静電誘導された電荷の数は等しくなります。
どのように考えられているかわかりませんが、あくまで電荷の数を決めるのは、電圧と誘電率です。
誘電体が分極する方法は、いくつもありますが、電気双極子が向きを変えると考えても良いです。
+-+-+-+-...+-+-という感じに電気双極子の向きが変ると言う事です。(電気双極子がなくても、分子内の電子と陽子の位置関係のずれにより、分子が分極する事も出来ます)
なお導体と誘導体の間では、電荷は移動出来ないので、電位差は維持出来ます。

Q消費電力と有効電力

消費電力と有効電力の違いを教えてください

Aベストアンサー

有効電力などをきちんと学ばれるには相応の時間が必要なので、イメージを変えてご説明します。

自転車の(クランク)ペダルを利き足で一周漕ぐことを考えてみてください。ペダルが一周する間には、足に力がこめられる区間と力がこめれられない区間の両方があるはずです。
ペダル一周が「皮相電力」。力が込められる区間を「有効電力」。力が込められない区間を「無効電力」だと捉えていただけると理解しやすいのではと思います。
同時に無効電力が必要不可欠なものであることもご理解いただければと思います。
事実、交流電源に接続された電気機器は無効電力も消費します。
また、皮相電力の中で有効電力の占める割合を力率として表します。

消費電力を、取り扱い説明書上で単位をWとしてあれば有効電力の値を示していることになりますが、単位がVAであれば無効電力を含めた皮相電力の値を示していることになります。
一般の電気機器は圧倒的にWで表示されています。

Q無限に長い円筒の側面上に電荷が一様な面密度

半径Rの無限に長い円筒の側面上に電荷が一様な面密度σで分布しているとき、ガウスの法則を用いて生じた電場を求めよ。

以下参考書の解説
 閉曲面Sとして、電荷の分布する円筒と同軸の半径r、長さLの円筒面を選ぶ。Sについての電場Eの面積分はE2πrL
 Sの内部に含まれる電荷はr<Rのとき0、r >Rのときσ2πRL
 よって、ガウスの法則より、E=0(r<R)、σR/εr(r >R)

なぜ、Sの内部に含まれる電荷はr >Rのときσ2πRLなんですか?
なぜ、E=σR/εr(r >R)なんですか?

詳しい解説お願いします。

Aベストアンサー

>Sの内部に含まれる電荷はr >Rのときσ2πRLなんですか?

問題の定義どおりです。

面密度 x 円筒の表面積 = σ x 2πRL

>なぜ、E=σR/εr(r >R)なんですか?

ガウスの法則から

電場=電荷量/(ε局面Sの側面積) = σ x 2πRL/(ε2πrL)=σR/(εr)