磁気双極子による磁場について

双極子モーメント→p_mの中心から十分離れた距離→ｒにある点Aにおける磁位は、確かにＶ＝p_m・cosθ／４πμ_０r^２ですが、それによって、磁場Hを求めるときに、ｒ方向と、θ方向に分けて求めるのですが、なぜＨ_θ＝－∂Ｖ／ｒ∂θなのでしょうか？ｒがつく理由がわかりません。Ｅ_ｓ＝－∂Ｖ／∂ｓを用いてと書いてあるのですが。低レベルかもしれませんが教えてください。電磁気はさっぱりわかりません。手ごわすぎます！

No.4 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2002/09/01 00:39

> 面積ヨウ素を考えればいいのですかね？

面積要素ではなくて，長さの要素です．
半径 r，中心角 dθで，対応する円弧の長さは r dθ ですね．

(∂x／∂y)_z　×　(∂y／∂z)_x　×　(∂z／∂x)_y　＝　－１
はなかなか面白い関係式です．
何を一定に保ったかに注意を払わず，約分できるみたいに思ってしまうと，
右辺は -1 でなくて +1 になっちゃいますから．

z を x,y の関数と考えます．
このとき，
(1)　　dz = (∂z／∂x)_y dx + (∂z／∂y)_x dy
です．
右辺第１項は x の変化分からの寄与，第１項は y の変化分からの寄与です．
dz=0 とおいて，dy/dx を作ってみますと
(2)　　dy/dx = - {(∂z／∂x)_y} / {(∂z／∂y)_x}　　ただし dz=0 の条件下
になります．
dz=0 は z を一定に保ったことに他なりませんから，
(2)の dy/dx は実は (∂y／∂x)_z のことです．
したがって
(3)　　(∂y／∂x)_z = - {(∂z／∂x)_y} / {(∂z／∂y)_x}
となり，分母を払うのと
(4)　　(∂y／∂x)_z = 1/(∂x／∂y)_z　　(固定変数が同じ z であることに注意)
などと組み合わせて求める式が得られます．

この式はいろいろなところに顔を出しますが，一番活躍するのは熱力学でしょうか．
熱力学では，圧力 p，体積 V，温度 T が独立変数としてよく使われますが，
もちろんこれら３つは全部独立というわけではなく，３つのうち２つだけが独立です．
例えば理想気体でしたら，pV = nRT ですから,
p,V,T のうち２つ決めれば残りの１つは自動的に決まってしまいます．
熱力学では今考えている状況に合わせて都合がいいように独立変数の選び方を
変えることがしばしばです．
このときに問題の式が活躍します．

No.3 回答者： siegmund 回答日時： 2002/08/29 02:06

円筒座標で(r,θ)から(r+dr，θ+dθ)に点が動いたとき，

r 方向には dr，θ方向には r dθ だけ動いたことになります．
θ方向に注意してください．単に dθではありません．
半径 r，中心角 dθと考えれば，円弧の長さから明らかでしょう．
大体，単に dθでは長さになりません(角度は無次元量ですから)！

磁場→Ｈと点の動きの内積がポテンシャル変化 dV というのが約束ですから
- dV = H_r dr + H_θ r dθ
です．
負号も約束の内．
ポテンシャルの低いところに物が行きたがるのとつじつまがあうように
負号がついています．
これを偏微分形で書いたのが
H_r = -(∂V/∂r)
H_θ = -(1/r)(∂V/∂θ)
です．
本来，偏微分は一定に保つ変数を添字で書くべきなのでしょうけれど，
r で偏微分する際はθを一定に保つというのが明らかなので，
今は省略しています．

physicist_naka さんのご回答は本質的に私のものと同じです．
ただし，ベクトル∂ｓという書き方はよくありません．
ベクトル dｓ と書くべきです．

First_Noel さんのご回答へのコメント：
> ∂ｘ／∂ｙ　×　∂ｙ／∂ｚ　×　∂ｚ／∂ｘ　＝　－１
> でしたっけ

これは，x,y,z が独立ではなくて，３者の間に関数関係
(f(x,y,z) = 0 と思ってもよいし，z = z(x,y) と思ってもよい)
がある時の式です．
もっと正確に書くなら
(∂ｘ／∂ｙ)_z　×　(∂ｙ／∂ｚ)_x　×　(∂ｚ／∂ｘ)_y　＝　－１
です．_ を使った添字は，偏微分のときに一定に保つ変数を表しています．

x,y,z が互いに独立なら，もちろん ∂ｘ／∂ｙ=0 (他も同様)です．

この回答へのお礼

たいへん丁寧な説明ありがとうございます！なるほど、面積ヨウ素を考えればいいのですかね？あと、わからないところがあります。
＞(∂ｘ／∂ｙ)_z　×　(∂ｙ／∂ｚ)_x　×　(∂ｚ／∂ｘ)_y　＝　－１
＞です．_ を使った添字は，偏微分のときに一定に保つ変数を表しています．
＞x,y,z が互いに独立なら，もちろん ∂ｘ／∂ｙ=0 (他も同様)です
この関係式はどうやって導き出されるのでしょうか？またどのように活用するのでしょうか？

お礼日時：2002/08/31 23:42

No.2 回答者： physicist_naka 回答日時： 2002/08/28 19:58

まず、H=-grad V ですね。

で、これを円柱座標にすると、
H_ｒ=-∂Ｖ／∂ｒ、H_θ=-∂Ｖ／ｒ∂θ、H_ｚ=-∂Ｖ／∂ｚ
というのが数学の公式で、これを証明してもいいですが、図形を考えると記憶にも役に立ち、いいと思います。
ベクトル∂ｓを考えると、そのθ方向の成分は、ｒ∂θとなります。ここをよく想像力を働かせて考えてください。わかりにくかったらまず2次元（ｒ、θ成分のみ）で考えて、それから3次元を考えればいいと思います。それがわかれば、H_θは、Vのθ方向の勾配の符号を反転したものだから、∂Ｖをｒ∂θで割ってマイナスを付けて、H_θ=-∂Ｖ／ｒ∂θとなります。

No.1 回答者： First_Noel 回答日時： 2002/08/28 17:39

（ｒ，θ）座標でのｇｒａｄを求めれば良いのでは？

∂ｓは経路の微小要素でしょうか？
まず∂ｓをｒとθで記述して，
次に
∂Ｖ／∂ｓ　＝　∂Ｖ／∂ｒ　×　∂ｒ／∂ｓ
として計算を進めてみて下さい．

れ？
∂ｘ／∂ｙ　×　∂ｙ／∂ｚ　×　∂ｚ／∂ｘ　＝　－１
でしたっけ．．．ちょっと不安になりました．お調べ下さい．．．