【先着1,000名様!】1,000円分をプレゼント!

三角形OABがあったとします。点Oから直線ABへ下ろした垂線の足をHとするとき、Hをベクトルを用いて表したいとします。

ベクトルOA=a、ベクトルOB=b、ベクトルOH=hとします。
Hは直線AB上にあるので、実数tを用いて、
h=ta+(1-t)b
とかけます。
OH⊥ABより、内積を用いて、
h・(bーa)=0
これらより、
t=b・(bーa)/|b-a|^2
となり、結局、
h={b・(bーa)/|b-a|^2 }a+{a・(aーb)/|a-b|^2 }b
などと表すことができました。
別のもとめ方として、垂線とは最短線のことなので、h=ta+(1-t)bの自身の内積をとり、tで微分したときの値が0であることからも、tが計算できます。

しかし、これを空間に拡張して、四面体OABCがあったとします。点Oから平面ABCへ下ろした垂線の足をHとするとき、Hをベクトルを用いて表すにはどうしたらよいのでしょうか?

表現方法がすごく煩雑になりそうですが、外積または行列式を用いれば簡単になり、また、さらなるn次元へ拡張した公式も推測できそうな気がするのですが。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (3件)

勝手に面積と決めてしまい、失礼しました。

垂線の長さでしたね。
垂線の長さ、OHは、OA、OB、またはOC のOH方向成分なので、
a、b、あるいはcと単位ベクトルhの内積を取ると求まります。
h={a・(b-a)×(c-a)}/|(b-a)×(c-a)|
分子は、a・(b×c)=[a,b,c]です。
そういえば、分母も|a×b+b×c+c×a|となりますね。
従って、改めて垂線の足をhと書けば、
h=[a,b,c]/|(a×b)+(b×c)+(c×a)| となります。
    • good
    • 1

四面体OABCのOからの垂線を考えます。


点A、B、CがOから見て、右回りにあるとします。
ベクトルhは△ABCの外向き法線なので、この方向の単位ベクトルは
h={(b-a)×(c-a)}/|(b-a)×(c-a)|
ただし、a、b、cは、質問者が定義したベクトルと同じく
ベクトルOA=a、ベクトルOB=b、ベクトルOC=cとしています。

hの大きさを、四面体の一面、例えば、△OABの面積を表わす
内向き法線ベクトルのOH方向成分とするのであれば、
(b×a)/2 との内積をとればよいと思います。
このときは
h={(b-a)×(c-a)}/|(b-a)×(c-a)|・(b×a)/2

∴h={(b-a)×(c-a)}・(b×a)/{2・|(b-a)×(c-a)|}
    • good
    • 0

同じ方針でやりたいなら、


h-a=s(b-a)+t(c-a)
とおいて、これがb-a,c-aと直交することから
行列A=
(b-a)^2 (b-a)・(c-a)
(b-a)・(c-a) (c-a)^2
縦ベクトル
X=
s
t
縦一定ベクトル
B=
-a・(b-a)
-a・(c-a)
から
AX=B
Aの逆行列A^(-1)から
X=A^(-1)B
でs,tがもとまるので、Hが決まる。
ということができます。
別のもとめ方として、垂線とは最短線のことなので、
h=a+s(b-a)+t(c-a)
の自身の内積をとり、
L^2={a+s(b-a)+t(c-a)}・{a+s(b-a)+t(c-a)}
=a^2+s^2(b-a)^2+t^2(c-a)^2+2st(b-a)・(c-a)
+2sa・(b-a)+2ta・(c-a)+2
sとtでそれぞれ偏微分したときの値が0であることからも、s、tが計算できます。
外積または行列式を用いれば簡単になります。
    • good
    • 1
この回答へのお礼

いろいろ考えて、
点Oから直線ABへ下ろした垂線の長さをそれぞれの点の座標から求める公式は理解できました。
それは△OABの面積と線分ABの長さが分かれば求まります。
まずは、2次元で考え、A(a[1],a[2]),B(b[1],b[2])とします。

|△OAB|=
(1/2)|a[1] a[2]|
|b[1] b[2]|

|AB|=√(L[1]^2+L[2]^2)
ここで、L[1]=
|a[1] b[1]|
|1 1 |
=a[1]-b[1]

次に、3次元で考え、A(a[1],a[2],a[3]),B(b[1],b[2],b[3])とします。

|△OAB|=(1/2)√(S[1]^2+S[2]^2+S[3]^2)
ここで、S[1]=
|a[1] a[2]|
|b[1] b[2]|

|AB|=√(L[1]^2+L[2]^2+L[3]^2)
ここで、L[1]=
|a[1] b[1]|
|1 1 |
=a[1]-b[1]

n次元でも行列式だったり和記号を使えば、一律的に書けそうです。

点Oから平面ABCへ下ろした垂線の長さをそれぞれの点の座標から求める公式も同様に書けそうです。

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/234_ …
http://www.nikonet.or.jp/spring/menseki/menseki. …
http://www.geocities.jp/me109e4jp/gyouretusiki.h …
http://homepage2.nifty.com/PAF00305/math/triangl …

お礼日時:2007/11/02 17:24

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qある点から平面に垂線を延ばしたときの交点の座標。

今XYZ空間で、ある2点O(Ox, Oy, Oz)、P(Px, Py, Pz)と2つの平行ではないベクトルU(Ux, Uy, Uz)、V(Vx, Vy, Vz)がわかっています。
この点OとベクトルU、Vで張られる平面に対して、点Pから垂線をおろします。
平面と垂線の交点を求めるにはどのようにすればよいでしょうか?
どなたか力を貸してください。

Aベストアンサー

No.3です。間違っていました。

まず、POとは点Pから点Oへのベクトルです。
そして、Tの定義自体を間違ってました。ここではT=(W・PO)・Wです。
更に、P+TのPは点Pの位置ベクトルのつもりで書きました。

T=(W・PO)・WをT=W・POと書いてしまったのがいけませんでした。

Q四面体の垂線

四面体についての問題です。

四面体ABCFがあります。
AB=2√11、BC=√5、BF=2√5
AC=7、AF=8、CF=5です。
点Bから△ACFへ垂線を下ろした時の長さを求めよ。

正四面体ならできるので すが、長さの違う四面体になるとわからなくなります。
どなたか教えて下さい。

補足
あと、四面体ABCFの体積を求めるとき、
△BCFを底面積とし高さをABにしても大丈夫ですか?
∠FBC=90ºです

Aベストアンサー

3平方の定理を使えば
△ABC,△ABF,△BCFは3つとも∠Bが90°の直角三角形であることが判ります。
したがって、Bを原点Oにとり、BAをx軸、BCをy軸、BFをz軸にとれば
A(2√11,0,0), B(0,0,0), C(0,√5,0), F(0,0,2√5)となる。
図にすると添付図のようにさります。参考にしてください。
平面ACFの方程式は
 x/(2√11) +y/√5 +z/(2√5)=1
点B(0,0,0)から△ACF(平面ACF)に下ろした垂線の長さは
点と平面の距離の公式から
 垂線の長さ=|1|/√{(1/44)+(1/5)+(1/20)}=√(33)/3 ...(答え)

>あと、四面体ABCFの体積を求めるとき、
>△BCFを底面積とし高さをABにしても大丈夫ですか?

添付図から判るとおり大丈夫です。
なぜなら
>∠FBC=90ºです
合わせて、∠ABF=∠ABC=90ºだからです。

なお、∠FBC=90ºだけ示しても不十分です。

体積=2√11*√5*2√5/6=(10/3)√11

参考URL:http://keisan.casio.jp/exec/system/1202458240

3平方の定理を使えば
△ABC,△ABF,△BCFは3つとも∠Bが90°の直角三角形であることが判ります。
したがって、Bを原点Oにとり、BAをx軸、BCをy軸、BFをz軸にとれば
A(2√11,0,0), B(0,0,0), C(0,√5,0), F(0,0,2√5)となる。
図にすると添付図のようにさります。参考にしてください。
平面ACFの方程式は
 x/(2√11) +y/√5 +z/(2√5)=1
点B(0,0,0)から△ACF(平面ACF)に下ろした垂線の長さは
点と平面の距離の公式から
 垂線の長さ=|1|/√{(1/44)+(1/5)+(1/20)}=√(33)/3 ...(答え)

>あと、四面体ABCFの体積を求めるとき、
...続きを読む

Q空間の点から平面への垂線

空間において、平面外の1点から平面へ垂線を下ろす方法について伺います。私はその1点を中心として平面に円を描き、円の中心を2弦の垂直2等分線の交点として求めて、中心と結ぶ以外に思いつかないのですが、他にいい方法があれば教えてください。円の中心の求めかたは他にもあるでしょうが、最初に円を描く以外の方法もあるのでしょうか?

Aベストアンサー

本質的な差はなさそうだけど、
とりあえず表面的に円が出てこない方法は

点をA、平面をRとします。

(1)コンパスの足の間の距離を適当に調整して、
Aから等距離にあるR上の異なる2点にコンパスで印をつけます。
これを B, C とします。
(2) 定規とコンパスで BCの中点D とBCのR上での垂直2等分線Qを
求めます。
(3)ADの長さをコンパスに写し取り、Q上でAからの距離が
ADと同じになるのもうひとつの点に印をつけます。これをEとします。
(4)DEの中点を求めます。

以上

Q高校数学 空間ベクトルでの垂線の足についての質問です。

空間ベクトルで、ある点からある平面に垂線の足を下した時、その長さがある点から、ある平面の任意の点までの長さ以下であることの証明方法を教えて下さい!
ある参考書に次の証明方法が載っていましたが、よく分かりませんでした。因みにP,Qはベクトルを表すことにします。
Pはある点からある平面上の点へのベクトルを、Qはある点からある平面へ垂直なベクトルをあらわす。
|P|^2=|P-Q+Q|^2=|P-Q|^2+|Q|^2+2(P-Q)Q
=|P-Q|^2+|Q|^2(∵P-QとQは垂直ゆえ内積が0)
よって、P=Qのとき、すなわちPが垂線の足のとき、Pの長さが最小となり、その値が|Q|である
ご回答宜しくお願いします!<(_ _)>

Aベストアンサー

Q が垂線の足でなければ P-Q と Q が垂直とは限らない (cf. 三垂線の定理) ってだけの話だとは思うんだけど, これもとの文章がひどいねぇ.

「ある点からある平面に垂線の足を下した時、その長さがある点から、ある平面の任意の点までの長さ以下である」って書いてるけど
・2つの「ある点」が同一とは限らない
・同じく 2つの「ある平面」が同一の平面とは限らない
と解釈するのが普通だよ.

Q四面体の体積を求める際の、高さの求め方。

四面体ABCDがある。 AB=BC=3 BD=1 AD=2√2 AC=2√5 CD=2√3 である時、四面体ABCDの体積Vを求めよ。

体積(V)=底面積×高さ×1/3 
「高さ」を求められず、この式が使えません。

解答では、「△BCDを底面とすると、ADが高さになる。」…とありますが、底面△BCDから頂点に伸びる線は3本あり(AD、AC、AB)、なぜ、ADが「高さ」になるのか、わかりません。

正四面体であれば答えられるのですが、この問題は考えてもまったく分かりませんでした。

教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

△DABと△DACとでピタゴラスの定理が成立します。
AB^2=DA^2+DB^2
AC^2=DC^2+AD^2
したがって
∠ADC=∠ADB=∠R (直角)
△BCDの平面上の交差する直線DBと直線DCに直線(線分)ADは直角だから、
点Dは頂点Aから底面BCDに下した垂線の足といえるわけです。
つまり底面BCD、頂点Aの四面体の高さがADの長さになるということです。

Q一本のベクトルに直交するベクトルについて

あじぽんと申します。質問があります。

3次元空間にベクトルAが一本だけあるとします。
さらにベクトルAに直交するベクトルがいくつもあるとします。

ベクトルAの座標がわかっている時に、
ベクトルAに直交するベクトルの座標を、どれか一つだけ計算にて求めることは出来るのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんは。

ちょっと待ってください。

「3次元空間にベクトルAが一本だけある」
と書かれていますが、
ベクトルというのは、向きと大きさ、言い換えれば、始点と終点の関係があるだけであって、
「空間にベクトルがある」
という言葉自体がおかしいです。

そして、
「ベクトルAの座標がわかっている時」
と書かれていますが、
ベクトルには座標というものは存在しません。
成分があるだけです。(上記で言った、向きと大きさ(始点と終点の関係)のことです。)


とはいえ、
成分が(a1、b1、c1)という3次元ベクトルがあるとしましょうか。
それに垂直なベクトルの成分を(a2、b2、c2)と置きます。
このとき、両者の内積はゼロになるわけですから、
a1,b1,c1,a2、b2、c2には、次の関係が成り立ちます。

内積 = a1・a2 + b1・b2 + c1・c2 = 0

>>>ベクトルAに直交するベクトルの座標を、どれか一つだけ計算にて求めることは出来るのでしょうか?

上の式を満たすようなベクトルを作ればよいだけです。
たとえば、b2とc2をゼロにしちゃえば、いとも簡単に1つ作れます。


以上、ご参考になりましたら。

こんばんは。

ちょっと待ってください。

「3次元空間にベクトルAが一本だけある」
と書かれていますが、
ベクトルというのは、向きと大きさ、言い換えれば、始点と終点の関係があるだけであって、
「空間にベクトルがある」
という言葉自体がおかしいです。

そして、
「ベクトルAの座標がわかっている時」
と書かれていますが、
ベクトルには座標というものは存在しません。
成分があるだけです。(上記で言った、向きと大きさ(始点と終点の関係)のことです。)


とはいえ、
成分が(...続きを読む

QベクトルAとBに垂直なベクトルCを求めるには?

ベクトルAとBがあり、その両方に垂直なベクトルを求めたいのですが、
どうすれば良いのでしょうか?
内積を計算した結果で0になるものが直行しているというのはわかるのですが・・・

Aベストアンサー

rei00 です。先程の回答違ってますね。alfeim さんがお書きの様に A, B の外積が求めるものですね。

で,あえて内積で頑張るなら次の様になると思います。A, B を三次元ベクトル A (a1, a2, a3), B (b1, b2, b3) とし,求めるベクトルを X (x, y, z) とすると。

垂直=内積0より
 a1・x + a2・y + a3・z = 0
 b1・x + b2・y + b3・z = 0

これを解いて
 x = z・(b3・a2 - a3・b2)/(a1・b2 - b1・a2)
 y = z・(b3・a1 - a3・b1)/(a2・b1 - b2・a1)

今,求めるベクトルの大きさが決まっていませんので,x, y, z の比を使って,求めるベクトルは (a2・b3 - b2・a3, a3・b1 - b3・a1, a1・b2 - b1・a2) となります。

つまり A, B の外積になります。なお,3次元上の次元でも同様に出来ると思います(たぶん・・・)。

Q平面の交線の方程式

2平面の交線の方程式はどうやって求めるのですか?

例で適当に問題を作ってみたんで教えてください
x-y+3z-1=0,x+2y-z-3=0

どなたか教えていただけませんか?

Aベストアンサー

akatukinoshoujoさん、こんにちは。

>x-y+3z-1=0・・・・(1)
>x+2y-z-3=0・・・・(2)とおきましょう。
(1)(2)より、連立方程式を解いて、x、y、zをそれぞれどれか一つの文字で表していきます。

(1)×2 2x-2y+6z-2=0
(2)   x+2y-z-3=0
------------------------------これを足してみると
      3x+5z-5=0
      x=-5(z-1)/3・・・・(☆)

(1)   x-y+3z-1=0
(2)×3 3x+6y-3z-9=0
------------------------------これらを足し合わせると
      4x+5y-10=0
      4x=-5(y-2)
      x=-5(y-2)/4・・・・(★)

(☆)(★)より、yとzをxであらわせたので、つなげてみましょう。

x=-5(y-2)/4=-5(z-1)
もうちょっと整理すると、
x/5 =(y-2)/-4 =(z-1)/-3
となって、これは(0,2,1)を通り、方向ベクトルが(5,-4,-3)の
直線になることを示しています。


方程式が2つあるので、どれか一つの文字で表して、つなげてみるといいですね。
頑張ってください!!

akatukinoshoujoさん、こんにちは。

>x-y+3z-1=0・・・・(1)
>x+2y-z-3=0・・・・(2)とおきましょう。
(1)(2)より、連立方程式を解いて、x、y、zをそれぞれどれか一つの文字で表していきます。

(1)×2 2x-2y+6z-2=0
(2)   x+2y-z-3=0
------------------------------これを足してみると
      3x+5z-5=0
      x=-5(z-1)/3・・・・(☆)

(1)   x-y+3z-1=0
(2)×3 3x+6y-3z-9=0
------------------------------これらを足し合わせると
   ...続きを読む

Q3次元座標2点からの直線式の求め方

お世話になります。

3次元座標2点からの直線式(ax+by+cz=0)の求め方を教えて下さい。

2次元座標であれば、1つの傾きから算出できるのですが、3次元座標になると、X-Y平面、Y-Z平面での傾きの使い方がこんがらかってしまいます。
基本的な質問で申し訳ありませんが、よろしくお願い致します。

座標1 = (x1,y1,z1)
座標2 = (x2,y2,z2)

以上

Aベストアンサー

> 直線式(ax+by+cz=0)の求め方を教えて下さい。
3次元座標では(ax+by+cz=0)は原点を通る平面になり、直線の式ではありません。ax+by+cz=dは平面の一般式です。

2点を通る直線の式には公式があります。
以下のように簡単に導けます。
点(x1,y1,z1)を通り方向ベクトル(x2-x1,y2-y1,z2-z1)の直線ですから
媒介変数形式で
(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
と成ります。
これを変形してすれば
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)
と3次元座標の直線の式となります。

Q法線ベクトルの基礎中の基礎

度々お世話になります。

直線のベクトル方程式とその法線ベクトルの関係で、
「直線ax+by+c=0において、n↑=(a,b)はその法線ベクトルである」との事ですが、このn↑=(a,b)というのは、成分表示ですから、n↑の始点を原点Oに取って、その終点の座標が(a,b)である、という捉えで良いのでしょうか。
例えば、次の基本的な問題

問 「二直線x+√(3)y-1=0…(1)、x-√(3)y+4=0…(2)について、
a,直線(1)(2)の法線ベクトルm↑、n↑のなす角θ。
b,二直線(1)(2)のなす鋭角α。
をそれぞれ求めよ」

を内積を使って計算だけで求めるのは教科書通りにやれば簡単に求まりますが、特に問題のbについて、自分で座標平面に作図してみたら、先の当方の捉え方ですと…
まず、n↑=(1,√(3))、m↑=(1,-√(3))ですから、これをそれぞれ始点を原点に取って、それぞれの座標通りに終点を取りますと、n↑が二直線(1)(2)の内部のm↑と交わらずII象限で交わってしまうのです。
解説を見たところ、bの問題は、円に内接する四角形の定理からαを求めているように見えるので、法線ベクトルn↑は四角形を作るように、m↑と交わらないと定理が成り立たない気がするのです。

という事は、n↑に限らず、法線ベクトルは、普通のベクトル同様に、位置は問題にせず、任意に平行移動しても良いということになるのでしょうか。
 計算間違いがあるかもしれないし、漠然とした内容の質問で申し訳ありませんが、アドバイス下さると有り難いです。
宜しくお願いします。

度々お世話になります。

直線のベクトル方程式とその法線ベクトルの関係で、
「直線ax+by+c=0において、n↑=(a,b)はその法線ベクトルである」との事ですが、このn↑=(a,b)というのは、成分表示ですから、n↑の始点を原点Oに取って、その終点の座標が(a,b)である、という捉えで良いのでしょうか。
例えば、次の基本的な問題

問 「二直線x+√(3)y-1=0…(1)、x-√(3)y+4=0…(2)について、
a,直線(1)(2)の法線ベクトルm↑、n↑のなす角θ。
b,二直線(1)(2)のなす鋭角α。
をそれぞれ求めよ」

を内積を使って計算だ...続きを読む

Aベストアンサー

こんばんわ。

方向ベクトルにしても、法線ベクトルにしても、
書かれているようなイメージでいいと思います。

方向ベクトルは考えている直線が進んでいく方向を表し、
法線ベクトルは考えている直線に対する垂線が進んでいく方向を表しており、
いずれも直線の方向を与えているだけです。

たとえば、直線の方程式が 2x+ 4y- 3= 0であれば、
法線ベクトルは n→= (2, 4)と表すことになりますが、
n→= (1, 2)としても「その進んでいく方向」は同じであり、これも法線ベクトルと言えます。
さらに、-1を乗じた n→= (-1, -2)も法線ベクトルと言えます。
値というよりも「比」がポイントなのです。


「なす角」を考える問題では、質問に書かれているとおり「平行移動」させて構いません。
2直線の交点となる点を原点まで平行移動させているイメージになります。


最後に「方向ベクトル」に関する過去の質問を参考URLとしてつけておきます。

参考URL:http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6229779.html


人気Q&Aランキング