重心について

中心角２θ、半径Rの扇形の中身をくりぬいた物体、つまり、線密度ρの等質円弧の重心の求め方が分かりません。質量が2Rρ(1+θ)ってことと、対称性から中心角のほうの頂点を原点においてy軸に関して対称に置けば楽に求まりそうってことぐらいしか分かりません。どなたか教えてください！

No.1 ベストアンサー 回答者： Meowth 回答日時： 2007/11/04 21:27

対称性から中心角のほうの頂点を原点においてy軸に関して対称に置くと、

y方向はｘ軸上
円弧のみ考えると、
ｘ方向は、
弧上の線素dsについてx軸となす角をφとすると、
ds=Rdφ
ｘ＝Rcosφ
McＧcx=∫xρds=∫xρRdφ(0→θ）
=ρR^2∫cosφdφ(0→θ）
=ρR^2sinθ
Mc=∫ρds=∫ρRdφ(0→θ）=ρRθ
Gcx=Rsinθ/θ
半径部分はついでに積分で求めれば、
x=rcosθ
ds=dr
MrGrx=∫xρds=∫rcosθρdr(0→R)
=cosθρ∫rdr=ρR^2cosθ/2
Mr=ρR
Grx=Rcosθ/2
全体では、
(Mr＋Mc）Grx=ρR^2cosθ/2＋ρR^2sinθ
ρR(1+θ)Gx=ρR^2(cosθ/2＋sinθ)
Gx=R(cosθ/2＋sinθ)

(R(cosθ/2＋sinθ),0)