よろしくお願い致します。集合の問題です。
問題文
集合A、Bを次のように定める
A={14L+10m/Lとmは整数}
B={2n/ nは整数}
このとき、x∈Aであることは、x∈Bであるための○。
○に、必要条件、十分条件のような言葉を入れます。
答えは、必要十分条件ですが、納得がいきません。
x∈A →、x∈Bは真でわかりましたが、
x∈B → x∈A がどうして真なのかわかりません。
証明の仕方を教えてください。
例えば、x=6のとき、Bはすぐに満たすことがわかりますが、Aを満たす数はありますか?
あるような気もしますが、ないような気もします。
L=3/7-5/7n
になるので・・・やりましたが、見つからないような気がしました。
いずれにしろ、任意の数でなりたってもしょうがないので、証明できるのだと思いますが、
いまいちよくわかりません。
教えていただけるとうれしいです。よろしくお願いします。
No.1
- 回答日時:
L=3,m=-4のとき
14L+10m=14*3-10*4=2
です。なのでどのような2nに対しても
2n=(14*3-10*4)n=14*(3n)+10*(-4n)
L=3n,m=-4nのときに等しくなります。
つまりAも全偶数の集合です。
ご回答ありがとうございます。
確かにL=3,m=-4のときは成立しそうですが・・・
すべての任意のLMで成立するのか納得できません。
また、きっと任意の数字でも成立することの証明なのかもしれませんが、
>2n=(14*3-10*4)n=14*(3n)+10*(-4n)
の式がなにを意味しているのかわかりません・・・すみません。
No.2
- 回答日時:
6=14*4+10*(-5) となり、L=4、m=-5 ですので、x∈Aですね。
あるいは、
6=14*(-1)+10*(2) でもよく、L=-1、m=2
など、無数に見つかるはずです。
なお、#1の方針に従えば、L=9、m=-12 と見つけられます。
L,mが整数のとき、7L+5m は、任意の整数を表すことができます。
(もちろん、他にもそういう式は無数にあります)
ちゃんとした証明は面倒なので省きますが、
例えば、7L+5m=x として、7L=x-5m となりますが、
整数xに対して、順次5を加える(引く)と、7で割った余りが、2ずつ増えたり(減ったり)していくはずですね。
余りが7以上になることはないので、
例えば、2→4→6→1→3→5→0
となって、7回以内で必ず0になります。
そのとき、適当なLが(mも)見つかることになりますので、7L+5mで、表せない整数xは存在しないことになりますね。
計算は、自分で確認してみてください。
ご回答ありがとうございます。
7L+5mで任意の整数なのはわかったのですが、それ以降がいまひとつわかりませんでした。もう一度考えてみたいと思います。
No.3
- 回答日時:
> 7L+5mで任意の整数なのはわかったのですが、それ以降がいまひとつ
ある整数 X について、7で割った時の商をp、余りをq とすれば、X=7p+q (pは整数、qは0≦q≦6を満たす整数)と書けます。例えば負の数のときでも、-13=7×(-2)+1 で表せますね。
ここで、X=7L+5m と表すことを考えると、例えば
X=7p+0 : L=p、m=0
X=7p+1 → X=7(p-2)+5*3 :L=p-2、m=3
X=7p+2 → X=7(p-4)+5*6 :L=p-4、m=6
X=7p+3 → X=7(p-1)+5*2 :L=p-1、m=2
X=7p+4 → X=7(p-3)+5*5 :L=p-3、m=5
X=7p+5 → X=7p+5*1 :L=p、m=1
X=7p+6 → X=7(p-2)+5*4 :L=p-2、m=4
となって、X=7L+5m を満たすL,mが何かしら見つかるはずです。
あるいは、X=5p+q と書けるので、
X=7L+5mで表すとすると、
X=5p+0 : L=0、m=p
X=5p+1 → X=5(p-4)+7*3 :L=3、m=p-4
X=5p+2 → X=5(p-1)+7*1 :L=1、m=p-1
X=5p+3 → X=5(p-5)+7*4 :L=4、m=p-5
X=5p+4 → X=5(p-2)+7*2 :L=2、m=p-2
こんな感じになります。
一方、6L+3m のような式の場合、任意の整数 Xに対して、X=6L+3m
を満足させる整数L,m の組はありません。これは、6、3が互いに素ではない(1ではない約数がある)からです。6L+3m、は、3の倍数にしか対応できませんね。
度々ご回答いただきまして、ありがとうございます。
ですが、きっと根本的なところがわかっていないのでしょうね。
読ませていただいても、何をしているのか、(何を導き出すためのものなのか)がわかりません。
>ある整数 X について、7で割った時の商をp、余りをq とすれば、X=7p+q
のところは、7で割っているのだから、あまりqは0から6のいずれかになるはずなのはわかりました。
ただ、
X=7p+1、X=7p+2 ・・・でp-2や、p-4や、5にかける3や6をかかれていますが、この場合、Lとmの変数二つなので、見つけるのが大変ですよね?これは地道に探し出すしかないということでしょうか。
後半も5で割っているので、そのあまりは0から4なので、x=5p+0・・・x=5p+4までかけるということですね。
最後のご説明も考慮にいれると、今回の問題では、5と7が互いに素であるから、任意の整数Xに対してX=7L+5mをみたす整数Lとmが存在するが、これが互いに素でない場合、(例えば3と6などの場合)はx=6L+3mを満たす任意のLとmが存在しないということですね。
ですが、互いに素な場合は任意のLとmが存在するが、互いに素でない場合は存在しない、というのが・・・今はまだわかりません。
でも、なんとなくそんな気はします。もう一度考えてみます。ありがとうございます。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
#1です。
根本的な誤解があるように思います。
それぞれを書いて見ます。(任意という言葉の使い方も少しおかしいのでは?)
(1)x∈A → x∈B
任意のL,mに対して
14L+10m=2(7L+5m)
から対応するn=(7L+5m)が存在します。
これでA⊆Bであることが示せました。
よって、少なくとも
x∈Aであることは、x∈Bであるための十分条件
です。
この時点ではあるnに対してどのようなL,mを用いても
示せない可能性は残っています。
(2)x∈B → x∈A
前述のように任意のnに対して
2n=14(3n)+10(-4n)
ですから任意のnに対応するL=3n,m=-4nなるL,mの組があります。
任意のnに対応するL,mが存在するので
こちらではB⊆Aあることが示せています。
よって必要十分条件です。
(1)ではどのようなL,mでも偶数になることを示しました。
(2)ではどのような偶数でも14L+10mという形で表せることを示しました。
再度書きますが、任意のL,Mについて考えるのは(1)での作業です。
(2)においてはあるL,mが存在していればよいのです。そこは混同しないでください。
なお、x=6 (n=3)のとき、少なくともL=3*3=9、m=-4*3=-12で6になります。
度々のご回答ありがとうございます。
(1)はx∈A → x∈B、の証明だから、任意のL、mに対してx∈Bが成立しなければいけない、ということですね。
(2)では、任意のnに対してあるL、mが存在すれば十分条件といえるということですね。
(すいません、質問の内容などで、確かに「任意」という言葉の使い方間違っていたかもしれません。(2)では、「任意のnに対して」であって、「任意のLとmで」ではないですね。すみませんでした。)
なので、(2)の目的は、すべての2nを14L+10mの形で表すことができるか、ということですね。
すべての2nが14L+10mで表すことができるか?
2n=14L+10m=2(7L+5m)より、
すべての任意のnに対して、n=7L+5mとなるLとmが存在すればよい、
・・・ここからがわかりません。
ご回答では、2n=14L+10mとなるL、とmを考えられているのですよね?
それで求めるLとmを任意のnを用いて表すと
>>2n=14(3n)+10(-4n)
となる、よって、任意のnで成立する、ということですね。
あ、今やっとご説明していただいた内容がわかりました。
でも、すごいややこしい・・・
この問題を10分ではできない・・・
それどころか、今は、説明していただいてやっとわかったような気がしますが、次回自分でやったらできるかどうか、、、
なんでこんなにややこしいのでしょう。
まだまだ練習がたりないのでしょうね。
度々ご回答いただいてありがとうございます。
何度も何度もやってみます。
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