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こんばんは、
cos^2θ+sin^2θ=1は公式として覚えているんですが、
cos^2の2θ+sin^2の2θ=2 となるのはなぜですか?
基本的なことですが、わからないので教えていただきたいです…

A 回答 (4件)

>cos^2の2θ+sin^2の2θ=2 となるのはなぜですか?



なりません。
2θ=αとおくと
cos^2α+sin^2αとなり
cos^2θ+sin^2θ=1より
cos^2α+sin^2α=1
cos^2(2θ)+sin^2(2θ)=1となります。
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(cosθ)^2+(sinθ)^2=1の証明は単位円を書いて考えます。



図を描きながら読んでもらった方が分かりやすいと思います。

単位円上で角θを取ったときの動径と単位円の交点をP(x,y)とおきます。単位円なのでx=cosθ,y=sinθとなります。

Pからx軸への垂線の足をQとして、三角形OPQで三平方の定理を用いると単位円の半径は1なので
x^2+y^2=1
となります。x=cosθ,y=sinθなので
(cosθ)^2+(sinθ)^2=1
が成り立つわけです。

この公式は、もちろんθがどのような値のときでも成り立ちます。つまりθ=30°としたときも、θ=60°としたときも成り立ちます。

θ=30°としたとき2θ=60°となるので、当然
(cos2θ)^2+(sin2θ)^2=1
となります。
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θは実数ですよね?


であれば、(cos2θ)^2 + (sin2θ)^2 = 1です。

後、式はもう少し見やすく記述するようにして下さい。
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それってホントに2になりますか??


cos^2θ+sin^2θ=1ならcos^2の2θ+sin^2の2θも1になると思うんだけど。。。違うかな??

この回答への補足

そうですね、1になるみたいです。すみません。
どうして1になるんでしょうか。

補足日時:2007/12/16 20:19
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Q三角関数 この問題を教えてください

⊿ABCは、三辺の長さがAB=sinθ、BC=cos2θ、CA=cosθ、∠ABC=三分のπの⊿である。ただし、<θ<四分のπである。余弦定理を用いてθの値を求めなさい。

解答の解説には
BC^2=AB^2+CA^2-2AB×CAcosAなので、
二倍角の公式などを使って整理すると、
2sin^2 2θ=sin2 

と書いてありました。

解説の説明が省略されすぎて全くわかりません。
BC^2=AB^2+CA^2-2AB×CAcosA
を二倍角の公式をどのように計算すると2sin^2 2θ=sin2になるのですか?

Aベストアンサー

⊿ABCは、三辺の長さがAB=sinθ、BC=cos2θ、CA=cosθ、∠ABC=三分のπの⊿である。ただし、0<θ<四分のπである。余弦定理を用いてθの値を求めなさい。

>解答の解説には
>BC^2=AB^2+CA^2-2AB×CAcosAなので、
>二倍角の公式などを使って整理すると、
>2sin^2 2θ=sin2 
>
>と書いてありました。

解説は、cosA=cos(π/3)=1/2として説明されているようなので、∠BAC=三分のπとして、
考えていきます。

BC^2=AB^2+CA^2-2AB×CAcosA に代入していきます。
cos^22θ=sin^2θ+cos^2θ-2・sinθ・cosθ・(1/2)  sin^2θ+cos^2θ=1より、
cos^22θ=1-sinθ・cosθ  sin^22θ+cos^22θ=1より、
1-sin^22θ=1-(1/2)sin2θ  ここで2倍角の公式 sin2θ=2sinθ・cosθ を使っています。sin^22θ=(1/2)sin2θ 
2sin^22θ=sin2θ ……(1)←多分このようになると思います。

0<θ<π/4より、0<2θ<π/2 このとき、0<sin2θ<1
X=sin2θとおくと、0<X<1
(1)より、2X^2-X=0
X(2X-1)=0より、X=0,X=1/2  Xの範囲にあるのは、X=1/2
sin2θ=1/2 より、2θ=π/6(0<2θ<π/2だから)
よって、θ=π/12 ……答え

何か質問などあったらお願いします。

⊿ABCは、三辺の長さがAB=sinθ、BC=cos2θ、CA=cosθ、∠ABC=三分のπの⊿である。ただし、0<θ<四分のπである。余弦定理を用いてθの値を求めなさい。

>解答の解説には
>BC^2=AB^2+CA^2-2AB×CAcosAなので、
>二倍角の公式などを使って整理すると、
>2sin^2 2θ=sin2 
>
>と書いてありました。

解説は、cosA=cos(π/3)=1/2として説明されているようなので、∠BAC=三分のπとして、
考えていきます。

BC^2=AB^2+CA^2-2AB×CAcosA に代入...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Qe^xを微分するとe^xになる理由

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'=e^xを利用しなければならないような気がします。



1)、2)とも(e^x)'=e^xの証明に(e^x)'=e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが…


微分の定義に沿って証明しようともしましたが、

(e^x)'=lim{h→0}(e^x((e^h)-1)/h)

となり、ここで行き詰ってしまいました。



(e^x)'=e^xはなぜ成り立つのでしょうか?
よろしくお願いします。

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなよ...続きを読む

Aベストアンサー

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(*)はtを用いて
(*)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ:項数が増え
ロ:個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + …… + 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界(どんなnをとってきても(1+1/n)^n<MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3)です。

ここで公理を使います。
「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」
これは実数の連続性を認めないと出てこない公理なのですが、今はとりあえず認めることにしましょう。そうすると、

「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
(証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います)

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
が出ます。よって、(*)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。

適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する(収束値をeと名付ける)
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
これが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。

(注:冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
たとえばe^x=1+x/1+x^2/2!+……と先に指数関数を定義してしまう方法。
これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう)

最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。
実数の連続性。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。
これらの証明(あるいは公理の必然性)をあたってみることは決して無駄ではないと思います。

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+...続きを読む

Q赤本と黒本どっちがいいの?

質問はタイトルの通りですが補足をします。
現在センター用の赤本を2冊(数学と英語)持っているのですが、他のサイトなどを見ると赤本よりも黒本の方が解説などが質がよい(詳しい)というような意見が結構ありました。
これから他の教科を買い足す場合、このまま赤本を買ったほうがよいのか、やはり黒本にしたほうがよいのか教えてください。
またその理由も教えてください。

Aベストアンサー

私の場合、センター対策は黒本を使い私大・国立対策は赤本を使っていました。黒本は全教科買って持っていましたが、あれってかなり重くて
たまに予備校で自習する時に持っていかずに塾で赤本を借りたりしていました。
同じ年度の解説を比べてみると、やっぱり黒本のほうが丁寧な気はします。
私は河合生だったのですが、在籍中に先生に黒本の解説は河合の先生が書いている、ということを伺いました。
まぁ、そんな理由から黒本を愛用していました。
でもそれぞれの好みはあると思うので、一度本屋さんで同じ年度のものを見比べてみてはいかがでしょうか。

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Q(sinθ)^2とsin^2θの違い

(sinθ)^2とsin^2θは同じ意味でしょうか。

Aベストアンサー

数学の一般的な記法に従うならば、
本来は sin^2 x = sin(sin x) のハズなのですが、
何故だか、三角関数の場合だけ、
sin^2 x = (sin x)^2 という意味なのです。
オカシナ話ですが、慣習なので従うしかありません。


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