ベクトルの問題～平行四辺形～

3点P(1.2)Q(3.-2)R(4.1)を頂点とする平行四辺形の第四の頂点Sの座標を求める問題なんですが。

自分はPとQの関係から、Sが(2.5)だと思ったのですが、答えは3つあるみたいなんです＞＜

どのように求めればいいか詳しく教えてください＞＜

No.4 回答者： noname#47894 回答日時： 2007/12/25 12:52

No.3について補足しておきます。

> 私の高校時代の数学では、平面に図形を描き各頂点にアルファベットを付ける場合、反時計回りにアルファベット順に付けるというのは常識でした。

いまでも常識です。問題文に順番が明示されている場合は、その条件を使って解かなければなりません。

この問題の場合、どこにも、PQRSが、この順番で四角形の頂点として並んでいるとは書いてありません。条件設定を正しく確認しないと、問いと答えが対応しなくなります。

もし、「平面上に、P(1,2)　Q(3,-2)　R(4,1)　S（x,y）がある。四角形PQRSが平行四辺形であるとき、x,yを求めよ。」
という問題であれば、Sは一つしかありません。

No.3 ベストアンサー 回答者： theweak 回答日時： 2007/12/25 01:09

回答というよりも、私も一緒に勉強させてもらってます。

はい。＾＾；

私の高校時代の数学では、平面に図形を描き各頂点にアルファベットを付ける場合、反時計回りにアルファベット順に付けるというのは常識でした。
ｘ軸正方向から反時計回りに角度って増えて行くでしょう。
だから、普通あなたの回答の通り、１つしかありません。

・・・って、過去の常識を振りかざしてもダメですか？

平行四辺形なんですから、対辺のベクトル同士が相等しければ良いと思います。頂点Ｓの座標を（ｘ、ｙ）と仮にしておきましょう。
ベクトルＱＰ＝ベクトルＲＳ、ベクトルＰＲ＝ベクトルＱＳ、ベクトルＲＱ＝ベクトルＰＳの３つ場合を計算しましょう。
（１－３、２＋２）＝（ｘ－４、ｙ－１）よって（２、５）
（４－１、１－２）＝（ｘ－３、ｙ＋２）よって（６、－３）
（３－４、－２－１）＝（ｘ－１、ｙ－２）よって（０、－１）

No.2 回答者： staratras 回答日時： 2007/12/25 00:51

まず座標平面上にＰ，Ｑ，Ｒの３点をとり、結んで三角形ＰＱＲを作ってみます。

この△ＰＱＲにあと一つの頂点Ｓを追加して平行四辺形を作るにはどうしたらよいかを考えます。この場合△ＰＱＲの３辺のうち１辺が対角線で、残りの２辺が求める平行四辺形の隣り合う２辺になることがわかります。

平行四辺形の対角線同士は互いに他を２等分する性質があるので
例えばＰＱが対角線の場合、Ｓ（ｘ，ｙ）とすると
ＰＱの中点とＳＲの中点は一致しますので
（ｘ＋４）／２＝（１＋３）／２　ｘ＝０
（ｙ＋１）／２＝（２＋（－２））／２　ｙ＝－１
したがってＳ（０，－１）

あとはＱＲが対角線の場合ＱＲの中点とＰＳの中点が一致
ＰＲが対角線の場合ＰＲの中点とＳＱの中点が一致することから
同様にＳの座標が求められます。　

No.1 回答者： noname#47894 回答日時： 2007/12/24 23:23

平行四辺形の頂点の並び方が

P→Q→R→S　P→Q→S→R　P→S→Q→R
の３通りあります。

あなたが求めたのは、P→Q→R→Sのケースですかね？（PQ→＝SR→）