平行四辺形ABCDがあり、対角線の交点をOとします。このとき、次の性質があります。
[1]AB//CD
[2]AD//BC
[3]AB=CD
[4]AD=BC
[5]∠A=∠C
[6]∠B=∠D
[7]AO=CO
[8]BO=DO
[9]∠OAB=∠OCD
[10]∠OAD=∠OCB
[11]∠OBA=∠ODC
[12]∠OBC=∠ODA
ひまつぶしに、[1]から[12]まで条件からの2つを組み合わせたものは、四角形ABCDが平行四辺形であると同値かどうか考えてみました。
[1][4]、[1][9]、[1][11]、[2][3]、[2][10]、[2][12]、[3][5]、[3][6]、[3][7]、[3][8]、[3][10]、[3][12]、[4][5]、[4][6]、[4][7]、[4][8]、[4][9]、[4][11]、[5][7]、[6][8]、[10][12]
は平行四辺形と同値でなく、それ以外は同値という結論になりました。しかし、自信がないので、以下の3つだけでいいので、確かめていただけないでしょうか。
言葉で説明するのは難しいと思いますが、よければ根拠のあるご回答をいただけると幸いです。
四角形ABCDで、[3]AB=CD、[5]∠A=∠Cのとき、四角形は平行四辺形とは限らない。
四角形ABCD(対角線の交点をO)で、[5]∠A=∠C、[7]AO=COのとき、四角形は平行四辺形とは限らない。
四角形ABCD(対角線の交点をO)で、[5]∠A=∠C、[8]BO=DOのとき、四角形は平行四辺形となる。
A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
四角形ABCDが平行四辺形である条件は5通り(6つ)です。
(1)AB//CD,AD//BC より、[1][2]
(2)AB=CD,AD=BC より、[3][4]
(3)∠A=∠C,∠B=∠D より、[5][6]
(4)AO=CO,BO=DO より、[7][8]
(5)AB//CD,AB=CD より、[1][3]
AD//BC,AD=BC より、[2][4]
(1)は平行四辺形の定義、後は平行線の性質や三角形の合同条件から証明できます。
>[9]∠OAB=∠OCDから、錯角が等しいから、AB//CDで、[1]と同じ
>[10]∠OAD=∠OCBから、同じくAD//BCで、[2]と同じ
>[11]∠OBA=∠ODCから、同じくAB//CDで、[1]と同じ
>[12]∠OBC=∠ODAから、同じくAD//BCで、[2]と同じ
だから、
(1)と同じなのは、
[9][2],[11][2],[1]「10」,[1][12],[9][10],
[9][12],[11][10],[11][12]
(5)と同じなのは、
[9][3],[11][3],[10][4],[12][4]
だと思います。
>下の3つだけでいいので、確かめていただけないでしょうか。
>四角形ABCDで、[3]AB=CD、[5]∠A=∠Cのとき、四角形は平行四辺形とは限らない。
>四角形ABCD(対角線の交点をO)で、[5]∠A=∠C、[7]AO=COのとき、四角形は平行四辺形とは限らない。
>四角形ABCD(対角線の交点をO)で、[5]∠A=∠C、[8]BO=DOのとき、四角形は平行四辺形となる。
(1)~(5)に当てはまらないので、3つとも平行四辺形にならないと思います。
どうでしょうか?
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