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整式P(X)を(X-1)(X-2)で割ったときの余りが3X+2であるときP(X)をX-1,X-2で割ったときの余りをそれぞれ求めよ

という問題で

P(X)=(X-1)(X-2)Q(X)+3X+2という式は作ったのですが…

余りが1次式しかわからないパターンがどの参考書にものってなく解けません。この続きはどうしたらいいのでしょうか?教えてください。

A 回答 (4件)

P(X)=(X-1)(X-2)Q(X)+3X+2


で合っています。

もし
P(X)がX-1,X-2で割り切れるのであれば、
P(1)=0、P(2)=0 となります。

ですから、代入して、
P(1)=(X-1)(X-2)Q(X)+3X+2 = 3*1+2 = 5
P(2)=(X-1)(X-2)Q(X)+3X+2 = 3*2+2 = 8

∴答えは5と8となります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!解りやすかったです☆

お礼日時:2008/02/25 00:01

>> P(X)=[(X-1)(X-2)Q(X)]+3X+2



P(1)=[(1-1)(1-2)Q(X)]+3・1+2=5
     ↑ゼロ
つまり、(X-1)で割った余りが5です。

P(2)=[(2-1)(2-2)Q(X)]+3・2+2=8
         ↑ゼロ
同様に、(X-2)で割った余りが8です。

御馴染みの、剰余の定理ですが。
-------

 剰余の定理は、
P(x)=(x-α)Q(x)+R
P(α)=(α-α)Q(x)+R=R
P(α)=R
よって、P(x)を一次式(x-α)割った余りRは、
R=P(α)
と書かれているはずです。 (A)
---------

この基本形に戻りたいならば、

>> P(X)=[(X-1)(X-2)Q(X)]+3X+2
     =(X-1)[(X-2)Q(X)]+3(X-1)+5
     =(X-1)[(X-2)Q(X)+3]+5 (B)

>> P(X)=[(X-1)(X-2)Q(X)]+3X+2
     =(X-2)[(X-1)Q(X)]+3(X-2)+8
     =(X-2)[(X-1)Q(X)+3]+8 (B)

これなら、1、2、を代入しなくても、
余りが、5、8と判ります。

(A)、(B)は同じ事を意味していて、
1、2 では定理にならないので、
αを使って、(A)を剰余の定理と呼びます。
---------

何度もやっていると、
剰余の定理と意識しなくなります。
因数定理の方が判り易いので、
因数定理で高次方程式を解いている内に、
剰余の定理は、当然の話に見えてきます。
---------

この後に、剰余の定理ではなくて、
除算の話に移り、判り難い問題が出てきます。
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この回答へのお礼

ありがとうがざいます☆すごく参考なりました♪

お礼日時:2008/02/25 00:04

>P(X)=(X-1)(X-2)Q(X)+3X+2



(X-1)(X-2)Q(X)は
それぞれ X-1,X-2で割ったとき割り切れますから、
後は
3X+2

それぞれ X-1,X-2で割ったときの余りを求めれば良いだけです。
3X+2=3(X-1)+5 ←余りは5
3X+2=3(X-2)+8 ←余りは8

少し基礎ができていないようですね。
参考書の答のパターンを覚えるだけでなく、解答の過程と意味を十分理解するようにして応用力を身につけて下さい。
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この回答へのお礼

ありがとうございます☆頑張ります!

お礼日時:2008/02/25 00:00

こんにちは。



>>>P(X)=(X-1)(X-2)Q(X)+3X+2という式は作ったのですが…

もう一息ですよ。

(X-1)(X-2)Q(X)+3X+2 をX-1 で割れば、(X-1)(X-2)Q(X) の部分は割り切れますから、
3X+2 を X-1 で割った余りを求めればよいわけです。
3X+2 = 3(X-1) + 5
あまりは5

X-2 についても同様です。
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この回答へのお礼

ありがとうございます☆解けそうです!

お礼日時:2008/02/24 23:59

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