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お世話になっております。
タイトルの通り端末条件がよくわからないので質問させていただきました。

問題
丸棒AB(長さl,直径d)のBが地面にピン止めされて、Aは滑らかな鉛直壁(摩擦なし)に支えられて(立て掛けられて)自重による作用のみを受けているとき、この棒に生じる圧縮応力が最大となる断面はAから距離いくつのところか?なお、地面と棒の間の角度はθである。



|\
| \
|  \
|  θ\
----------○B
という状態です。

力の図示は問題なくできたのですが、AあるいはBに反モーメントが存在しているかどうかがよくわかりません。
また、たわみとかたわみ角はどうなのでしょうか(0なのかそうじゃないのか)。

よろしくお願いいたします。

ちなみに解答は
l/2 + (d/8)tanθ
となっているのですが、どうしてdがでてくるのかまったく見当がついてません。
こちらの方もよろしくお願いいたします。

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A 回答 (7件)

縦弾性係数 E、断面二次モーメント I とすると、AB間の X 方向のたわみ Wx は、d^2wx/dy^2=M/EI で、モーメントが M=-P・L だから、



d^2Wx/dy^2=-P・L/EI、 dWx/dy=-(P・L/EI)(y+C1)、 
Wx=-(P・L/EI)(y^2/2+C1・y+C2)、

なお、点A(y=0)で、dWx/dy=0、Wx=0 だから、C1=C2=0、よって、点Aから、高さ y のたわみ角 θx と、ABのたわみ WX は、

θx=dwx/dy=-(P・L/EI)y、Wx=-(P・L/2EI)y^2 で、点B(y=h)の
たわみは、WxB=-P・L・h^2/2EI、

BC間のたわみ Wy は、d^2Wy/dx^2=Mx/EI=-P(L-X)/EI、
dWy/dx=-(P/EI)(LX-X^2/2+C3)、
Wy=-(P/EI)(LX^2/2-X^3/6+C3・X+C4)

また、点B(x=0)で、dWy/dx=0、Wy=0 だから、C3=C4=0 になり、
BC間のたわみ角 θy と、たわみ Wy は、

θy=dWy/dx=-(P/2EI)(2LX-X^2)、 Wy=-(P/6EI)(3LX^2-X^3)

教科書では、以上のようになっていますが、点B および BC間のたわみ W は、点Bが X 方向に WxB 移動して、y 方向にたわむ値を加え、

W=Wy+WxB・sin{sin^-1(WxB/h)}
=-(P/6EI){(3LX^2-X^3)-3L・h^2・sin{sin^-1(WxB/h)}] になると
思います。ただし、AB間は右方向が(-)、BC間は下向きが(-)です。
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この回答へのお礼

いつもいつもご回答ありがとうございます。

先にABにおいてBを自由端として扱い、BCにおいてBを固定端として扱うというやり方がよくわかりました。
ということは、
【疑問1】剛節の場合はいつもこのようにやればよいということでよろしいのでしょうか?

また、わざわざL字型のC点におけるたわみの詳細な出し方をお教えいただきありがとうございました。
これで済めばよかったのですが新たな疑問点がわいてしまいました。
W=Wy+WxB・sin{sin^-1(WxB/h)}
となっておりますが、第二項の斜辺hと垂線WxBでsinをなす角少々疑問があります。

まず座標(x,y)においてBは最初(0,h)にいたとします
Bはたわむことによって(δx,h-δy)  δx,y共に正
に移動するわけですが、
たわみ、すなわちWxBは垂直変位量ですからδxということになりますよね?
となると
【疑問2】
θ=arctan(δx/h)=arctan(WxB/h)として
WyB=WxB*tanθとすべきなのではと思いました。
(つまりWyC=WyB+Wy(L))

もはや当初と大幅にずれているのでもしご回答いただけるのであれば次ので看過できないような大きな疑問がわかない限りこれで最後にしたいと思います。

ありがとうございました。

お礼日時:2008/03/13 17:11

> 【疑問1】剛節の場合はいつもこの> ようにやればよいということでよろ> しいのでしょうか?



はいそうですよ。

> 【疑問2】
> θ=arctan(δx/h)=arctan(WxB/h)として
> WyB=WxB*tanθとすべきなのではと思いました。
> (つまりWyC=WyB+Wy(L))

点Bは、P による y方向の縮みも少しありますが、モーメントによる x方向のたわみ、と云うよりも 点Aを中心とする回転による 点Bのy方向の移動 WxB・sinθ が、BC間のたわみに加算されます。


-----|
|\θ    |WxB・sinθ
|  \  |
|WxB \|
|    /B’
|θ  /
|/ θ=sin^-1(WxB/h)
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この回答へのお礼

なるほど。
ありがとうございました。

前回の質問に引き続きお世話になりました。

またなにかかればよろしくお願いいたします。

お礼日時:2008/03/13 23:18

> 【疑問1】剛節の場合はいつもこの> ようにやればよいということでよろ> しいのでしょうか?



はいそうですよ。

> 【疑問2】
> θ=arctan(δx/h)=arctan(WxB/h)として
> WyB=WxB*tanθとすべきなのではと思いました。
> (つまりWyC=WyB+Wy(L))

点Bは、P による y方向の縮みも少しありますが、モーメントによる x方向のたわみ、と云うよりも 点Aを中心とする回転による 点Bのy方向の移動 WxB・sinθ が、BC間のたわみに加算されます。


-----|
|\θ    |WxB・sinθ
|  \  |
|WxB \|
|    /B’
|θ  /
|/
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|←-L-→↓P


|ー----C
|B→x
|  BC間のモーメント Mx=-P(L-x)<0、  (0≦x≦L)

|  AB間のモーメント MAB=-P・L=一定、  (高さに関係せず)

|A 点Aのモーメント MA=-P・L です。
--
よって、点B は、MB≠0 より、固定端と同じで、点A はもちろん固定端。
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この回答へのお礼

たびたびありがとうございます。

Bは固定端と同じとしてしまいますとたわみ=0となってしまうと思うのですが、
たとえばその問題設定で、Cのたわみを求めなさいというときは

ABで見た時はBを自由端として扱ってたわみを計算し、
BCと見た時はBを固定端としてCのたわみを計算して和を取るという形でよろしいのでしょうか?

何度もアレですがよろしくお願いいたします

お礼日時:2008/03/12 00:26

ちょっと僕も説明不足でした。

御免なさい。

点A や B のように壁やピンで支えられている場合は、単純支持で、今回の場合は、かつ両端支持と同じです。よって、点A および B のモーメントは 0 になります。

固定端とは、丸棒が壁に食い込んでいるような場合で、このときは、点A のモーメントが 0 にならず、点Bがピンなら 点Bのモーメントは 0 です。

なお、四辺形ABCD で、AB を上面、CD を底面とするとき、点A、B がピンなら、点A、B のモーメントは 0 で、AB は単純な両端支持、

点A、B がピンでない場合、点A、B のモーメントは 0 になりません。

また、この場合、点C、D が固定端なら、点C、D のモーメートもやはり
0 ではありません。

もし、点C、D もピンなら、点C、D のモーメントも 0 で、四辺形ABCD は直ぐ倒れてしまいますから、少なくとも点C、D のどちらかは固定点で、
固定された点にモーメントが生じます。
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この回答へのお礼

この問題に関して(ハリと壁における)の端末条件はよくわかりました。
ありがとうございます。

えーっと当初と異なるのですが、長方形部材の方で質問があります。
もしかしたら長方形部材のイメージがうまく伝わってない気がしますので改めてL字型のもので質問させていただきたいと思います。

地面にL字型のものが逆Lの形のように突き刺さっているとします
--
|
|
地面
という感じです。下から順にハリにそって点ABCとします。

この場合ハリABに着目した場合、Aは地面に食い込んでいるので端末条件は固定端でいいかと思われます。
その場合のBの条件はどうなるのでしょうか?ピンではないし、BC上に力がかかっている場合モーメントが発生するので、
1.固定端扱い
2.自由端だけれどもモーメントと力がかかっている
3.L字型にかかる力の位置などによって端末条件がかわる
4.他
のどれになるのでしょう?

また、BC部分に注目した場合、やはりCは自由端でいいかと思われますが、Bはどうなるのでしょうか?

このようにABでみたときBは○○端とみて、BCでみたときBは××端としてみる、というような解釈は行われるのでしょうか?

当初とちょっと毛色が変わってしまいましたがどうぞよろしくお願いいたします。

(つまり、剛節の時の端末条件がわからない、とまとめられるかもしれません)

お礼日時:2008/03/11 19:25

> 端末条件は単純支持の場合と変わらず、また解答は間違っているという


> 解釈でよろしいのでしょうか?

端末条件は、単純支持はりでなく、点Aが単純支持で、点Bがピンなら両端支持はりと同じです。また、解答の L/2+(d/8)tanθ は間違いです。

この回答への補足

ちょっと追記いたします。
お礼のほうから読んでいただけるとわかりやすいかと思われます。

まずはお礼の訂正、なぜか図のAとBが隣り合っていたり、B側の支持端が端に来ていないですが、訂正すると、Bは右端の点で、右側の△も右端にかいたつもりでした。

さて、
この問題に限らず、ラーメン構造物などで端末条件をどのように考えればいいのかわかりません。
(固定端とみなすのか、支持端とみなすのかetc)
よろしければどのように判断すればよいのかコツをお教えいただけると嬉しいです。



たとえば、
長方形ABCDの四辺がハリであるようなラーメン構造物(つまり中空)のものの、点AはハリABをみたとき固定端なのでしょうか?支持端なのでしょうか?あるいはその両方なのでしょうか?

こういうことがわかるようになれば上の問題もわかると思うのですが。

補足日時:2008/03/11 02:18
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

解答が間違っているということは理解できました。
が、
>端末条件は、単純支持はりでなく、点Aが単純支持で、点Bがピンなら両端支持はりと同じです
の文章の意味がよくわかりません。

単純支持と両端支持って同じなのではないのですか?
A B
------------------------------
△             △
              ゜゜(回転&移動)
というものをイメージしていたのですがこれは正しいのでしょうか?


それとも、Aが垂直方向のみ移動可能な支点、Bが回転のみ可能な視点のようにも思えてきました。

どれが正しいのかご教授ください。
よろしくお願いいたします。

お礼日時:2008/03/11 02:18

長さ L(m) 、直径 d(m) の丸棒の比重を ρ(kg/m^3)、重力の加速度を g=9.8(m/s^2) とすると、自重 W(N) は、



W=9.8・ρ・π・L・d^2/4

よって、傾斜角 θ で丸棒を立て懸けたときの等分布荷重 p(N/m) は、

p=W/L・cosθ

また、点A、B の反力 R は、R=W/2=p・L・cosθ/2 で、点Aから点B方向にとった長さを x とする任意点のモーメント M は、

M=R・x・cosθ-p・(x・cosθ)^2/2=(p・cos^2θ/2)(L・x-x^2)

ゆえに、丸棒の上下面に生じる圧縮、引張り応力 σ は、丸棒の断面一次モーメントが Z=πd^3/32 だから、

σ=±M/Z=±(16・cos^2θ/π・d^3)(L・x-x^2)

なお、σ が最大になるのは、σ を x で微分して、0 になる所で、

dσ/dx=L-2x=0、 ∴ x=L/2 です。

また、たわみも x=L/2 で最大になり、点A、B のモーメントは、0 です。 
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この回答へのお礼

素早いご回答ありがとうございます。

つまり、端末条件は単純支持の場合と変わらず、また解答は間違っているという解釈でよろしいのでしょうか?

またよろしくお願いいたします。

お礼日時:2008/03/10 19:03

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