フェルミエネルギーについて

p形とn形の半導体(金属と半導体、金属と金属同士でもよい)を接触させるとフェルミエネルギーが等しくなるのは何故ですか？
　また、何故pn接合の両端にバイアスを加えるとp領域とn領域のフェルミエネルギーが分裂するのですか？
　質問内容がよく分かりにくいかも知れませんが回答お願いします！
　

No.1 回答者： mmky 回答日時： 2002/10/31 12:45

参考まで

材料にはそれぞれ固有の化学ポテンシャル（chemical potential)があります。2つの材料を接触させると、接触面で化学的平衡状態にあれば、接触面は同一ポテンシャル（電位）です。この時のポテンシャルをフェルミレベルと呼んでいるので、解析的に等しくなるのではなく、等しくしているのですね。
二番目の質問は1番目と同じです。平衡状態でなければ当然変化するという
ことですね。

ということで、
間違ってたらごめんね！

この回答へのお礼

さっそくの回答有難うございます。
Fermi-Diracの分布関数を導いた時に、
　　　　 f(E)=[exp(α+βE)+1]
のαを熱力学の関係式から、α＝－μ/kTというのが分かり、
E_F=μと置く事は理解しているのですが、化学ポテンシャルに関する熱力学の知識が不十分で完全に化学ポテンシャルというものを理解していません。化学ポテンシャルに関して分かる事を教えて頂きたいです。また、化学ポテンシャルと外部電圧の間に何らかの関係式があるのでしょうか？

お礼日時：2002/10/31 17:33

No.2 回答者： etl-aist 回答日時： 2002/10/31 20:20

要求水準より低かったらごめん！ってことで読んでください。

簡単に説明すると、フェルミエネルギーは電子がそこにいる確率が50％のところをさします。
二つの物質をくっつけると、電子は低いエネルギーの方に流れます。
そうすると、高いフェルミ準位の電子が低い方に行くので、高いフェルミ準位は下がり、逆に低い方はその電子が流れ込んできて、電子の存在確率が上がるので準位もあがります。
・・・で電子の行き来がなくなったところで安定します。そこが、フェルミ準位になります。
・・・っていうのをイメージしてください・・・。わかりにくくてすいません。

この回答へのお礼

有難うございます。十分分かりやすいですよ。
化学ポテンシャルについて数式を用いて説明していただければ光栄です。知りたい事は普通の教科書に書いていない事です。

お礼日時：2002/10/31 21:59

No.3 回答者： phbs 回答日時： 2002/10/31 22:50

Fermi-Dirac　の分布関数　f=1/[Exp(β(E-μ))+1] (β=1/kT)でT→0 (β→∞)

としてみるとf(E<μ)=1,f(E>μ)=0となります。fの定義に遡ればこれはμより小
さなエネルギーの状態は全て占められ、μより大きなエネルギーの状態を占める
確率は0ということになります。これはFermiエネルギーの定義そのままです
からμ(T=0)=Fermi energyになります。（μは温度の関数です）。
--------------------------------------------------------
次にμの意味についてですが、熱力学第一法則　dU=TdS-pdV+μdNを見れば分かるようにμは系にもう1個の粒子を加えようとするときに必要なエネルギーということになります。従って2つの相が平衡状態にあるとき2つの相でμは等しくなります（もし
そうでなかったら粒子は平均してどちらかの相に流れやすくなってしまいます）

系に電圧がかかれば2つの相の間にエネルギーの差が生じます。電圧をかけたままで
2つの相が平衡状態になったとすればやはりこのときも2つの相の間の化学ポテンシャルが等しいというのが平衡を決める条件です。統計力学の適当な教科書にパウリ
常磁性というのがあると思いますが、磁場⇔電場と置き換えればこの2つの問題は
よくにています。参考にしてください。

この回答へのお礼

回答有難うございます。
＞2つの相が平衡状態にあるとき2つの相でμは等しくなります。
というのは統計力学などの本も読み、ある程度分かりました。熱平衡状態にあればp、n領域のフェルミ準位＝化学ポテンシャルが等しくなければならないというのも大体分かりました。
しかし、まだよく分からないのが、電圧を加える事でフェルミ準位＝化学ポテンシャルが影響を受ける事です。
これの説明お願いします。

お礼日時：2002/10/31 23:35

No.4 回答者： spinflip 回答日時： 2002/11/01 01:23

前の補足についてです。

化学ポテンシャルは、「周りに他の粒子がいることで、自分が
どれだけその場にいづらくなるか」ということなのですが、
あくまでポテンシャルです。ですから、粒子の全エネルギー
を考える際には他のポテンシャルとの総和になります。
電場という別のポテンシャルがかかっていれば、それとの和
が、全エネルギーになるのです。電場のために、化学ポテンシャル
が変化するのではありません。

別の例を言えば、重力gと電場Eと二つのポテンシャルが両方かかって
いる場合には、粒子(質量m、電荷q)のエネルギーは、mgx ＋ Eqx
と、和になっています。

この回答への補足

でも、順方向バイアスＶを加えると化学ポテンシャルが上下にqＶの差で分かれるのは何故ですか？
　また、ｎ領域の伝導帯E_CnとフェルミエネルギーE_Fnとの差はバイアス電圧Ｖを加える前後で変化しますか？

補足日時：2002/11/02 02:17

この回答へのお礼

ありがとうございます。化学ポテンシャル自身が電場の影響を受けるんではないんですね。それなら化学ポテンシャルが自由電子密度と温度の関数というのと辻褄が合います。ほっとしました。
＞別の例を言えば、重力gと電場Eと二つのポテンシャルが両方かかっている場合には、粒子(質量m、電荷q)のエネルギーは、mgx ＋ Eqxと、和になっています。
この例え分かりやすかったです！

お礼日時：2002/11/01 17:43

No.5 回答者： mmky 回答日時： 2002/11/01 11:25

＃１です。

#3,#4さんで回答が出ていると思いますが、補足まで。

ＰＮジャンクション面での電流密度Ｊは、Ｊ∝expｑ{(V-Vg)/KT} です。
Vは印加電圧、Vg は閾値電圧（ギャップポテンシャル）ですね。
｛（V-Vg)≪1　の場合がFermi・Dirac分布、（V-Vg)≫1　ガウス分布？｝
この閾値Ｖｇは、フェルミ関数Ｗを使えば、Fermi・Dirac分布系では、
フェルミＷより下側（Ｎ）：　Ｊn∝expｑ{-(W-Vn)/KT}
フェルミＷより上側（Ｐ）：　Ｊp∝expｑ{-(Vp-W)/KT}
ということで、-{(Vp-W)+(W-Vn)}/KT=-Vg/KT になっているね。
Ｐ側に外部電圧を印加すると、
（Ｐ）：　Ｊp∝exp{V-(Vp-W)/KT}
Ｎ側はそのままだから、
（Ｎ）：　Ｊn∝exp{-(W-Vn)/KT}
ということで　｛V-Vg}になるね。
おのおのの材料でのフェルミ関数Ｗは変化していませんね。
でも接合面で確かに｛V-Vg}の電位差が存在するでしょう。
これを図形にしたものがよく観るＰＮジャンクションポテンシャル図
ですね。（ちなみにこれ、初めて導入したのはあの江崎先生だと聞いて
います。）

かなりアバウトな説明で申し訳ないが
こんなのが論点？
ずれてたらごめんね。

この回答への補足

>でも接合面で確かに｛V-Vg}の電位差が存在するでしょう。
接合面での電位差はVです。

補足日時：2002/11/04 12:47

この回答へのお礼

ありがとうございます。PNジャンクションポテンシャル図を導入したのは江崎先生だったんですね。知りませんでした。
＞おのおのの材料でのフェルミ関数Ｗは変化していませんね。
順方向バイアスを加えるとフェルミ関数Ｗは上下に分かれますが…どういう事でしょうか？？

お礼日時：2002/11/02 00:38

No.6 回答者： mmky 回答日時： 2002/11/02 10:23

[順方向バイアスを加えるとフェルミ関数Ｗは上下に分かれますが…どういう事でしょうか？？]

その前に訂正、「ガウス分布？」ではなくボルツマン分布ですね。
「関数Ｗは上下に分かれますが、」ということですが、ひずみと考えれば
いいのでは。２つの材料を接触して圧力をかけると接触面で膨れますよね。
このひずみは正常な状態ではないですね。
おのおのの材料のフェルミ関数Ｗは同じですが境界面（境界流域）でひずみ（電位のひずみ）が起きるということですね。境界領域で電位のひずみは吸収されるので境界から十分はなれたところでは、同じライン上になるでしょう。材料でも一部の場所に応力ひずみが集中しますね。境界面であれと同じ現象がおきているのです。だから境界領域ではフェルミ分布ではなくボルツマン分布になっていますねということですよね。
こんなんで、説明になっているかなあ？
参考まで

この回答へのお礼

ありがとうございます。
＃５における式がやっぱりよく分かりません。n領域のフェルミエネルギーをE_Fn、p領域のフェルミエネルギーをE_Fp
内臓電位(built in potential)をΦ_D、バイアス電圧をＶ、電子の電荷を－q、n領域の伝導帯、価電子帯をそれぞれE_Cn、E_Vn、p領域の伝導帯、価電子帯をそれぞれE_Cp、E_Vp、バンドギャップを
Eg=E_Cn－E_Vn=E_Cp－E_Vpとして説明し直してもらえませんか？
そして、フェルミエネルギーは順方向バイアスを加えると、E_Fn－E_Fp=qVの差をもって上下に分離すると思うので、pとn領域で等しくＷというのはやはりおかしいと思います。

お礼日時：2002/11/02 15:55

No.7 回答者： spinflip 回答日時： 2002/11/04 01:29

#4です。

#4の補足、
>>順方向バイアスＶを加えると化学ポテンシャルが
>>上下にqＶの差で分かれるのは
についてですが、
一方は、電子(-q)で、一方はホール(+q)ですから、
同じ電圧を加えても一方はエネルギーが下がり、
一方は上がるのです。

P.S.
未定乗数法の補足は、d/dxと∂/∂xについてでしょうか。
もしそうなら、、「もちろん、適宜(てきぎ)読み替えて下さい」。
十分、ご判断できる「ポテンシャル」をお持ちであるとお察しいたします。

この回答への補足

自分なりの説明をします。順方向バイアスを加えると、例えばn領域の多数キャリア(電子)を考えると、電子密度が増えるので、化学ポテンシャル(フェルミ準位)がp型の化学ポテンシャルよりもqV(Vはバイアス電圧)だけ高くなる。もし高くならないとすると、バイアスを加える以前とn領域の電子密度の分布が変化してしまうから。って感じでいいでしょうか？？？
　また、spinflipさんはどのように理解していらっしゃるのでしょうか？

補足日時：2002/11/05 23:28

この回答へのお礼

ありがとうございました。
＞未定乗数法の補足は、d/dxと∂/∂xについてでしょうか。
そうです。読み替えればいいのですね。これからspinflipさんの回答でそういう表示が出たら自分で読み替えます。

何故１＋１＝２になるのかのように質問があまりに当たり前すぎて回答する方が難しいのでは？っていう気がしてきたんですけど、もしかして、分離するのではなく熱平衡状態での考え方を拡張して分離するように擬フェルミエネルギーを書いているという事でしょうか？

お礼日時：2002/11/04 23:18

No.8 回答者： mmky 回答日時： 2002/11/04 05:01

[pとn領域で等しくＷというのはやはりおかしいと思います。

]
という指摘ですね。
そこで、質問者の指摘にも一理あるように思いましたので、
一度白紙に戻して考えてみました。
物理学全書(McGRAW-HILL　Enc.Physics)のferm-Dirac分布
の読み直しです。
フェルミエネルギーの定義は、
熱平衡状態において、エネルギーεを占有する確率は、
フェルミ分布で与えられる。、
ｆ(ε）＝１/1+{exp(ε－w)/KT}
ここで、wをフェルミエネルギーと呼ぶ。wは確率が(1/2)のエネルギー。
（＃２さんの指摘にあります。）
ということで、フェルミエネルギーの定義は、確かに材料ごとに与えられる
固有のエネルギー（準位）ですね。
そこで、質問者の指摘(1)　P型とN型はWが同じではないのでは、ということですが
定義が熱平衡状態でと言う事なので、Wp=Wn=W=ケミカルポテンシャル(μ）に
あわせていると考えられますね。また、グラフに良く書かれている
フェルミ線(w)は熱平衡状態の基準値ということですね。
金属や半導体の接触を考える上でその方が便利だったと思われますね。
従って、質問者の「フェルミエネルギーが変わらないのはおかしい。」という
指摘も正しいのですね。
フェルミエネルギーｗは変えずに、ｆ(ε）やεで表すことにしているのですね。
これにも理由があると思うのです。
この理由に関しては、＃７さんの指摘があります。
確かに、ｆ(ε）もフェルミエネルギーといってしまうから混乱しますね。
質問者の疑問の答えになっているかどうか？
参考に

この回答へのお礼

ありがとうございます。
＞質問者の指摘(1)　P型とN型はWが同じではないのでは、ということですが
そういう事を言っているのではなく、順方向に電圧を加えると上下に分かれるという事です。

お礼日時：2002/11/04 19:48

No.9 回答者： mmky 回答日時： 2002/11/04 22:10

[そういう事を言っているのではなく、順方向に電圧を加えると上下に分かれるという事です。

]ということですね。
＃８でＷ（フェルミエネルギー：確率（1/2））が接合面で上下にわかれる（分裂している。）のは、定義上の便法ですということをいっています。
だから、
「E_Fn－E_Fp=qVの差をもって上下に分離すると思う。」

という考えでいいのでは。

この回答へのお礼

ありがとうございました。mmkyさんの言っている意味がだんだん分かってきました。
＞
フェルミＷより下側（Ｎ）：　Ｊn∝expｑ{-(W-Vn)/KT}
フェルミＷより上側（Ｐ）：　Ｊp∝expｑ{-(Vp-W)/KT}
●ここで使っているWは熱平衡状態におけるフェルミエネルギーで擬フェルミエネルギーではないから、温度が一定の条件下では不変である。自分は擬フェルミエネルギーを使っていたから食い違いが起こった。
●ＰＮジャンクションの図で左側をＰ、右側をＮ領域とすると-qVnは右側のＮ領域での価電子帯の準位で、-qVpは左側のＰ領域での伝導帯の準位。だから、qVgは左側のＰ領域での伝導帯の準位と右側のＮ領域での価電子帯の準位との差。自分は同じ領域におけるギャップポテンシャルと思っていたのでそこで食い違いが起こった。

＞ということで　｛V-Vg}になるね。
おのおのの材料でのフェルミ関数Ｗは変化していませんね。
でも接合面で確かに｛V-Vg}の電位差が存在するでしょう。
●mmkyさんの言っているV-Vgというのは左と右の領域の差のVgを使っているのに対して、自分は同じ領域のVgだと思っていたから食い違いが起こった。

という事ですよね？？？
改めて自分の質問を書くと擬フェルミエネルギーが左と右で分離するっていう意味です。

お礼日時：2002/11/04 23:10

No.10 回答者： mmky 回答日時： 2002/11/05 13:14

「という事ですよね？？？ 」

その通りです。認識の共有はＯＫですね。

「改めて自分の質問を書くと擬フェルミエネルギーが左と右で分離するっていう意味です。」

ちよっと頭を白紙にして考えて見ます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。お世話になります。

お礼日時：2002/11/05 18:33