「3つの確率変数 x1,x2,x3 が独立 ⇒ u=x1+x2 と x3 は独立 」
という直感的には明らかな事実を厳密に証明したいのですが、
以下の証明で日本語表現も含めておかしな点はあるでしょうか?
(証明)
x1,x2,x3は独立なので、同時確率密度関数 P(x1,x2,x3) は
それぞれの密度関数の積で以下のように表される。
P(x1,x2,x3)=Q(x1)・R(x2)・S(x3) (※)
ここで、u=x1+x2 とし、uとx3の同時確率密度関数を φ(u,x3) とするとφ(u,x3)は(※)の式においてx1とx2の和がuになる組み合わせの確率の合計となる。
よって、
φ(u,x3)=∫[-∞~+∞]Q(u-t)R(t)S(x3)dt
=∫[-∞~+∞]Q(u-t)R(t)dt・S(x3) となる。
これは、φ(u,x3)がuの関数と、x3の関数の積となることを示しており、
uとx3が独立であることが示された。
証明終
よろしくお願いします。
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