波動方程式の中の微分方程式について

d^2y/dx^2-K^2y(x)=0　Kは実数の定数を解いたときに、この解は一般的にy(x)=exp(ax)で表され、a=±Kとなるのでy(x)=exp(Kx)、y(x)=exp(-kx)となるのはなんとか分かるのですが、教科書によってはy(x)=Aexp(Kx)、y(x)=Aexp(-Kx)やy(x)=Aexp(Kx)＋Bexp(-Kx)と書いてあります。
y(x)=exp(Kx)の係数のAやBはどうして付くのでしょうか？

表現が分かりにくいかもしれませんがどうかよろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： 101325 回答日時： 2008/04/21 13:51

> この解は一般的にy(x)=exp (ax)で表され、

ここの表現が少しおかしいです。例えば、y(x)=cosh(Kx) もこの微分方程式の解ですけど、y(x)=exp(ax) の形で表すことはできません。

n個の任意定数を含む、n階常微分方程式の解を、『一般解』といいます。y(x)=Aexp(Kx)＋Bexp(-Kx) は２階常微分方程式 d^2y/dx^2-K^2y(x)=0 の一般解です。２階常微分方程式の一般解なので、２個の定数 A,B を含みます。

ある特定の境界条件（や初期条件）を満たすように、一般解の定数を選んだものを、微分方程式の『特殊解』といいます。y(x)=exp(Kx), y(x)=exp(-Kx), y(x)=Aexp(Kx), y(x)=Aexp(-Kx) は全て特殊解です。A=1,B=0 と選んだ解が y(x)=exp(Kx) で、A=0, B=1 と選んだ解が y(x)=exp(-Kx) です。A=1/2, B=1/2 と選ぶと、y(x)=cosh(Kx) という特殊解がえられます。

このほかに、一般解でも特殊解でもない『特異解』というものもありますけど、化学ではほとんど使わないです。

> y(x)=exp(Kx)の係数のAやBはどうして付くのでしょうか？

上で述べたことから、より一般的な解を表すために付けます。

これらの定数の選び方や、物理的な意味付けは、問題によります。初等的な例では、一次元の有限な角井戸ポテンシャルに束縛された粒子の波動関数ですね。井戸の外側の波動関数は、一般解 y(x)=Aexp(Kx)＋Bexp(-Kx) で表されますが、これが

　x→±∞でゼロになる、
　井戸の内側の波動関数と滑らかにつながる、

という境界条件を満たすように定数を選ぶと、特殊解がえられます（x<0 の波動関数と x>0 の波動関数では、定数の選び方が異なります）。

まあ普通は、定数A,B のどちらか一方がゼロになるので、y(x)=Aexp(iKx)＋Bexp(-iKx)と比べると、 y(x)=Aexp(Kx)＋Bexp(-Kx) という一般解が必要になることって少ないですけどね。

この回答へのお礼

大変分かりやすいご説明に感謝します。
ありがとうございました。

お礼日時：2008/04/21 16:23

No.3 回答者： doc_sunday 回答日時： 2008/04/21 14:12

＃２のお答えが正確だと思います。

なお、例えば2sと2pからsp3やsp2を作るときに「規格化」する必要があって、このような定数項が現れますので、覚えていると混乱せずに済みます。

この回答へのお礼

アドバイスありがとうございます。
勉強させていただきます。

お礼日時：2008/04/21 16:24

No.1 回答者： storm50 回答日時： 2008/04/20 22:33

系の中の電子の数を１にするためです。

この回答への補足

的確な表現をありがとうございます。
勉強させていただきました。

補足日時：2008/04/21 16:24