物理の積分がわからない。

物理の積分なんですが、a=加速度、v=速度、t=時刻を表すとして、
今a=dv/dt⇔dv=adtが成り立っているとします。この両辺を積分するとv(t)=at+C (Cは積分定数)
になるみたいなんですが、これが理解できません・・。
不定積分Cはわかりますが、d/dtはtについて微分しろってサインですから、これをtについて積分すればなくなりますよね？
すると右辺だけ積分したものはvになり、これと同じ処理をして等号を維持するにはaを積分して、加速度の積分=速度と習ったので実行すると、v=vになってしまいわけがわかりません・・・。
ご教授お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： connykelly 回答日時： 2008/04/22 09:48

仰っていることをフォローすると

>すると右辺だけ積分したものはvになり、

a=dv/dt→∫(dv/dt)dt=∫dv=v

>これと同じ処理をして等号を維持するにはaを積分して、加速度の積分=速度と習ったので実行すると、v=vになってしまい

∫adt=v

ということだと思います。この展開は間違いではないですが、

>加速度の積分=速度

をただ単に適用しただけですから、v=vで当たり前となってしまいますね。∫adtの積分を実行しなくては。つまり今の場合加速度aは時間に依存しない定数（等加速度運動)を考えられますから∫adt=a∫dtと積分緒外に出せます。これを実行すると∫adt=a∫dt=atとなりますね(積分定数は省いています）。

No.3 回答者： okada2728 回答日時： 2008/04/22 10:04

a=dv/dtは定義です。

訳せば「加速度は速度の微分」。
これから直ちに、∫adt=vです。訳せば仰る「加速度の積分は速度」。
これら2つは積分定数を除いて同じなので、∫adt=vを2回使ってv=vとしてしまっているだけで、当然の結果ですね。
いかがでしょうか。

No.1 回答者： mtaka2 回答日時： 2008/04/21 20:08

> 加速度の積分=速度と習った

それを式で表そうとしてるところなんですから、勝手に置き換えちゃだめですよ。

「dv/dt=a」をtで積分すると、「v=∫a dt」 になります。
この式の意味は「a(加速度)を積分するとv(速度)になる」(「加速度の積分=速度」である)ということです。

この加速度aが定数の時は、右辺の積分が計算できて「v=at+C」になります。