自己随伴写像の表現行列が対称行列とならない例は?

宜しくお願い致します。

[問]Vを有限次元実内積空間(dimV=n)とする。
γ={x1,x2,…,xn}は任意のVの基底とする。
VからVへの線形写像fが自己随伴(∀x,y∈V,<f(x),y>=<x,f(y)>(<,>は内積))である時,
fの表現行列Aは対称行列となる。
の真偽判定の問題です。

正解は偽のようなですがこの反例としてどのようなものが挙げられますでしょうか?

No.1 ベストアンサー 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/04/23 22:44

真ですよ？

内積空間の係数体は、実数体または複素数体ですが、
実内積空間の自己随伴線型写像は、対称行列、
複素内積空間の自己随伴線型写像は、エルミート行列
を表現行列に持ちます。

Ｖの正規直交基底から、２個のベクトルをとって
∀x,y∈Ｖ, <f(x),y> = <x,f(y)>
の x,y にあてはめてみれば、わかります。

この回答へのお礼

> Ｖの正規直交基底から、２個のベクトルをとって
> ∀x,y∈Ｖ, <f(x),y> = <x,f(y)>
> の x,y にあてはめてみれば、わかります。

{e1,e2,…,en}:正規直交基底で
<Aei,ej>=<ei,Aej>
と当てはめてみて内積の定義から
(aij)=(aji)
と上手くいきました。

どうもありがとうございました。

お礼日時：2008/04/24 02:58