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No.3
- 回答日時:
こんにちは。
>0°≦θ<360°の時、y=2sinθcosθ-2sinθ-2cosθ-3とする。
x=sinθ+cosθとおくと、yはxの関数アとなる。
x=イsin(θ+ウ°)であるから、xの値の範囲はエである。
したがって、yはθ=オ°のとき、最大値カをとる。また、yの最小値はキである。
アは、mario-matuzyunさんの答えのとおりですね。
x=sinθ+cosθとおくと、x^2=(sinθ+cosθ)^2=sin^2θ+cos^2θ+2sinθcosθとなるので
sin^2θ+cos^2θ=1 であることより、2sinθcosθ=x^2-1 とおけます。
y=2sinθcosθ-2sinθ-2cosθ-3にこれを代入して
y=(x^2-1)-2(sinθ+cosθ)-3
=x^2-1-2x-3
=x^2-2x-4 ・・・・・(ア)
さて、θ=45°のとき、sinθ=cosθ=1/√2 であることに目をつけましょう。
x=sinθ+cosθ
=√2{sinθ・1/√2 +cosθ・1/√2}
=√2{sinθ・cos45°+cosθ・sin45°}
=√2sin(θ+45°)
したがって、(イ)は√2、(ウ)は45°になります。
ここで、0°≦θ<360°ですから、
45°≦θ+45°<415°となります。
このとき、sin(θ+45°)のとりうる範囲は
-1≦sin(θ+45°)≦1になるので、xの範囲は、
ー√2≦x≦√2・・・・(エ)
さて、最後にyの最大値、最小値を考えてみましょう。
y=x^2-2x-4 と変形できていますから、
y=(x-1)^2-5と変形してみると、これは頂点(1,ー5)下に凸の二次関数
ですね。ただし、上で求めたように、xの変域はー√2≦x≦√2です。
この変域でのyの最大値、最小値を求めればいいことになります。
yが最大になるのは、x=-√2のときですね。
これを代入して
y=(-√2-1)^2-5
=2√2-2
このときのθは、x=-√2=√2sin(θ+45°)より求まる。
sin(θ+45°)=-1となるθは、θ+45°=270°だから
θ=225°ですね。・・・・(オ)
このときyは最大値2√2-2をとります。・・・(カ)
最小値は頂点のy座標ですから、y=ー5・・・(キ)
No.1
- 回答日時:
イ、ウは合成公式を使ってそれぞれ√2と45
-1≦sinθ≦1
なので
エは-√2≦x≦√2
y=(x―1)^2-5
yが最大になるのはx=√2の時なのでθ+45°=90°
つまりθ=45°
最大値は2√2-2
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