三角行列のN乗

（ａ　ｂ
　０　ｃ）のＮ乗を知っていると入試で楽になる場合が多そうだ
と言うのに気が付いたので先生に公式を教えてくれ！って頼んだら
推測して帰納法で証明すれば出来るよ、って言われました。

推測は出来ましたがｎ＝ｋで仮定して証明する所が出来ません。
推測もあっているか不安なので一応教えていただきたいです

No.5 回答者： imo6480 回答日時： 2004/12/24 00:49

訂正

(ア)a≠bのとき
　　　　　　　　ではなくて
(ア)a≠cのとき
　　　　　　　　でしたっ。

No.4 回答者： imo6480 回答日時： 2004/12/22 02:39

帰納法で証明ではありませんが、計算で証明を一つ・・・

A＝(a b
　　　0 c)
と置きます。
ケーリ－・ハミルトンより
A^2-(a+c)A+acE=Ｏ
A^2-(a+c)AE+acE=Ｏ
(A-aE)(A-cE)=Ｏ
(ア)a≠bのとき
A(A-cE)-aE(A-cE)=Ｏ　(半端に展開し直しただけね)
A(A-cE)=a(A-cE)
A^n (A-cE)=a^n (A-cE)
A^(n+1)-cA^n=a^n (A-cE) 　これを(1)と置く

A(A-aE)-cE(A-aE)=Ｏ (また半端に展開)
A^(n+1)-aA^n=c^n (A-aE) 　(上と同じ操作)
　　　　　　　　これを(2)と置く

(1)-(2)より
　(a-c)A^n=a^n (A-cE)-c^n (A-aE)
∴　A^n=a^n (A-cE)-c^n (A-aE)/(a-c)

(イ)a=cのとき
　(A-aE)^2=Ｏ
ここで
A-aE=B
と置く
A=aE+B
A^n=(aE+B)^n
=(aE)^n+nＣ1(aE)^(n-1)B+…+B^n
(二項定理)
　　 =(aE)^n+nＣ1(aE)^(n-1)B
　　　　　　　　　　　 (∵B^2=Ｏ)

成分は書くのめんどいけん書いてないけどこうなります。ちなみに(イ)はsharp-penさんが以前質問していた2×2行列のn乗の話が、例の一つですな～。さらにちなみに、正方行列のn乗は大体ケーリー・ハミルトンで解けます。因数分解できないときは、特殊性が潜んでいることが多いです。(特に高校の数Ｃとか受験数学で。)特殊性ってのは、周期的になってたり、n乗がｎによらないものだったりってことですよ。

No.3 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2002/11/28 01:46

与えられた行列をＡとして，

　　　┌　　　　　　 ┐
Ａ^n＝│ａ^n　 ｂ[n] │
　　　│ ０　　ｃ^n　│
　　　└　　　　　　 ┘
ただし
ｂ[1]＝b
n≧2のとき
ｂ[n]＝b{Σ_{k=0～n-1} a^(n-1-k)・c^k}
＝b{a^(n-1)＋a^(n-2)c＋a^(n-3)c^2＋・・・＋ac^(n-2)＋c^(n-1)}
＝b(a^n－c^n)/(a－c)　[a≠c のとき]　または　na^(n-1)・b [a＝c　のとき]

No.2 回答者： haruka0322 回答日時： 2002/11/26 00:07

変な回答してすいません。

＃1はミスですので、＃2の方だけ見てください。
文章が変なところとかを直そうと思ったんですが・・・。
＃1を送信する前に修正したハズなんですけどねぇ（汗

No.1 回答者： haruka0322 回答日時： 2002/11/26 00:05

n=kで仮定した後、もとの行列を右からでも左からでも

普通に掛けてみてください。そうすると、その形は
n=k+1を代入した時と同じになり、証明できます。

推測の仕方は、試しに元の行列（Aとおきます）に
左右どちらからでもAをかけてA^2をつくり、
さらに左右どちらからでもAをかけてA^3を作れば
規則が見えてくると思いますので、もう一度落ち着いて考え直してみてはいかがでしょう？
あ、推測はできたんでしたっけ。