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以下の回路の合成抵抗を求めよ、という問題です。
正八面体abcdefを考え、各辺(稜)は抵抗でできている。
一応ここでは、aとfを接続端子としておきます。そして、aとfの位置関係は、aとfが正八面体において最も距離が大きくなる位置関係です。
さらに、正八面体の内側ではどの点もつながっていないとする。(つまり6点は、正八面体の縁取りの辺(稜)でしかつながっていない。)

ここで確認ですが、辺(稜)の数は12本つまり抵抗の数は12個です。

抵抗の値はa-b間、a-d間、c-f間、e-f間の抵抗は2R,
他の8つの抵抗はRとする。
ただし、bとd、cとeの位置関係も、aとfの位置関係と同じとする。

という問題です。

自分で解答を作ってみたのですが、よく考えたらデタラメで絶対間違っています。
そこで、皆さんに質問させていただきました。

まず、端子aへ電流がIが流れ込む。
点aで電流は4方向へ分流するが、a→b間に流れるのは、I/6であり、これは、b,c,d,eへ1:2:1:2の比で分流すると考えたからです。
次に、bからはc,e,fへの3方向へ分流するが、上と同じように考え、fへはI/3流れ込む。
よって、合成抵抗をRoとおいたとき、RoI=2R×I/6+R×I/3より、Ro=R/2となる。

しかし、上記のようにこれはデタラメです。なぜなら、a→c→fの経路でこのような考えを用いれば、値が違ってきます。

他にも考えてみましたが、何も考えが浮かびませんでした。

どなたか、助けてくださると幸いです。
ヒントだけでもいいのでよろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

キルヒホッフの法則を使いましょう。



多分,Ro=11R/16かな。
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この回答へのお礼

解けましたぁ~~~(汗
自分の計算も、Ro=11R/16でした。

夜遅くまで付き合わせてしまい申し訳ないです。

ありがとうございました。

お礼日時:2008/07/24 03:37

すいません。


よく見たら、抵抗値が全て同じじゃないんですね。そういうことでしたか。
だとすると、真面目にキルヒホッフしかないかな。
ただ、それでも対称性はあるので
a→b、a→d、c→f、e→fの4つの枝を流れる電流は全て同じ
a→c、a→e、b→f、d→fの4つの枝を流れる電流は全て同じ
b→c、d→eの2つの枝を流れる電流は同じ
ていうのは言えるので、計算自体はかなり簡単になるとは思いますが
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

夜遅くまで、すいませんでした。

お礼日時:2008/07/24 03:53

対称性から、


a→b、a→c、a→d、a→e
の枝に流れる電流は同じです。
というわけで、b、c、d、e の電位は同じです。
なんで、b-c-d-e間には電流が全く流れません。というわけで、b-c-d-e間の4本の抵抗は取っ払ってしまってないものと思ってしまってよいです。

結局、a→b→f、a→c→f、a→d→f、a→e→f、というそれぞれ2Rの抵抗が4本並列にあるだけですから、合成抵抗は、2R/4 = R/2 です。
答えは、結局、質問者さんと同じになりましたね。

>これは、b,c,d,eへ1:2:1:2の比で分流すると考えたからです。
こう考えた理由はなんでしょうか?なぜ、a→cに流れる電流が、a→bに流れる電流の2倍になると考えたのか、ちょっとだけ興味があります。
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この回答へのお礼

分流の考えは、勘です。
単純に、抵抗の逆比になるかと、無理矢理しました。

ところで、最初の方と答えが違っているんですが、どちらが正解なんでしょう。。。

お答え頂いて申し訳ないのですが、実際手計算で11R/16と出ましたので、11R/16が本当の解だと思うのですが。。。

お礼日時:2008/07/24 03:42

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Q立方体の導線の電気抵抗

立方体の導線の電気抵抗

図のように、一様な導線で立方体を作った。
一辺の電気抵抗をRとすると、
AG間の電気抵抗はいくらか。

Aベストアンサー

考え方その1.
AG間に電圧源をつないだと考えると、対称性からBDEが等電位、同様にCFHが等電位になる。
等電位の点は接続しても影響が出ないので、BDEを接続、CFHを接続すると、A-BDE-CFH-Gのような回路になって、A-BDEがR/3, BDE-CFHがR/6、CFH-GがR/3、合計5R/6。

その2.
AG間に電流Iを流す。
対称性から、AB,AD,AEには等分に電流I/3が流れる。
同様にBからC,Fへも等分に電流I/6が流れ、F,H,CからGへも等分に電流I/3が流れる。
A-B-C-Gの経路で電圧降下を計算すると、RI/3+RI/6+RI/3=5RI/6。したがって、抵抗は5R/6。

という具合に計算できるかと思います。

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立方体ABCD-EFGHとおくとき、A-C間の合成抵抗を求めよ、って問題です。全体を流れる電流はIでAから入りCからでるとします。全体の電圧をVとし、1辺をRΩとします。

わかりやすく教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

一般的な解法としては回路方程式を立てて線形連立方程式を解くことになりますが、この問題は対称性を利用して比較的簡単に求まりそうです。

1)立方体の平面表現
立方体の稜線を2次元に展開するため先ず大きなひし形を一つ書き、その内側に小さいひし形を書きます。外側のひし形の頂点を上から左回りにABCD、同様に内側をEFGHとし、AとE、BとF、CとG、DとHをそれぞれ線でつなぎます。これで12本の稜線(抵抗R)の接続関係が平面的に表現できました。最上部の点がA,最下部の点がCとなります。

2)対称性を利用した合成抵抗計算
上記の平面表現は上下が線対称となり、中央部BFHD各点の電位はA-C間の電位の中点ですべて同電位となり、これらの各点の相互間には電流が流れないため水平方向の線(抵抗)B-F,H-Dは除去しても回路各部の電流には変化がありません。(除去のかわりに短絡しても結果は同じですがここでは除去で考えます)
ここで内側のひし形のE-G間の抵抗は2Rと2Rの並列でRとなりますので内側のA-E-G-Cの経路の抵抗は3Rとなります。一方外側のひし形のA-C間の抵抗はE-Gと同じくRとなりますのでこれと内側経路の3Rの並列接続により合成抵抗が下記のように求められます。

合成抵抗=1/{1/R+1/(3R)}=3R/4

一般的な解法としては回路方程式を立てて線形連立方程式を解くことになりますが、この問題は対称性を利用して比較的簡単に求まりそうです。

1)立方体の平面表現
立方体の稜線を2次元に展開するため先ず大きなひし形を一つ書き、その内側に小さいひし形を書きます。外側のひし形の頂点を上から左回りにABCD、同様に内側をEFGHとし、AとE、BとF、CとG、DとHをそれぞれ線でつなぎます。これで12本の稜線(抵抗R)の接続関係が平面的に表現できました。最上部の点がA,最下部の点がCとな...続きを読む


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