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半径aの円形リングに線密度λで電荷が一様に分布している。
リング中心から中心軸上xの距離における点での電位を求めよ
という問題の解答解説をお願いします!

質問者からの補足コメント

  • うーん・・・

    ありがとうございます
    すごい初歩的な質問になるのですが、微小長さってなんでadθとおけるのでしょうか?
    長さに微小な角度をかけて長さになるというのが違和感あります

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2019/10/28 22:17
  • ありがとうございます!
    ラジアンの意味をちゃんと理解していませんでした...

    No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2019/10/28 23:14
教えて!goo グレード

A 回答 (3件)

No.2 です。

「補足」に書かれたことについて。

>長さに微小な角度をかけて長さになるというのが違和感あります

角度の「ラジアン」とは、円周角を「半径に対する円周の長さ」で表わすものです。
角度 θ [ラジアン] とは、半径 r とそれに対する円周の長さ L から
 θ [ラジアン] = L/r   ①
として定義します。単位円(r=1)なら
 θ [ラジアン] = L
です。つまり「角度:ラジアン」とは「単位円の円周長さ」ということです。
「1周」ならば L = 2パイr なので
 θ [ラジアン] = 2パイr/r = 2パイ
です。

①式より、円周長さは
 L = rθ
になります。
この回答への補足あり
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リング上の微小長さ adθ 上の微小電荷は


 dq = λadθ
ここから「中心軸上xの距離における点」までの距離は
 r = √(a^2 + x^2)
つまり、微小電荷がその点に作る電界の大きさは、クーロン定数を k=1/(4パイε0) として
 dE = kdq/r^2 = [k/(a^2 + x^2)]λadθ
この中心軸方向(x 方向)の成分は
 dEx = dE * x/√(a^2 + x^2) = [kx/(a^2 + x^2)^(3/2)]λadθ

これをリング上で一周積分すれば
 Ex = ∫[0→2パイ](dEx)dθ
  = 2パイkλax/(a^2 + x^2)^(3/2)
  = [1/(2ε0)]λax/(a^2 + x^2)^(3/2)
この回答への補足あり
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ビオ・サバールを解くだけ。



リング中心からxまでの距離は、リング(周)からxを見上げた角度θで表現した方が計算が楽。
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