漸化式 a(n+2) + a(n) =0

漸化式
a(n+2) + a(n) =0　　、a(1)=1, a(2)=0
の一般項a(n)の求め方を教えてください。

数十分前の、これと類似した質問は僕のミスです。
申し訳ありません・・

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/07/29 22:31

>の一般項a(n)の求め方を教えてください。

最初のいくつかを計算しましたか？あなたはこの問題を考えましたか？

補足にどうぞ。

この回答への補足

どうにかa(n+2)-αa(n+1)=β(a(n+1)-αa(n))のような形を目指しましたが、詰まってしまいました。

まず、a(n+2) + a(n+1) + a(n) =0　のような計算は解いたことがあるので、それと同様なやり方で解こうとしました。
進めなかったので、a(n+3)-a(n)=0も習ったのでそれを参考に変形しようとしましたがうまくいきませんでした。
参考書を見て類似問題を探しても、これといったのが見つからないので質問しました。

補足日時：2008/07/29 22:32

No.2 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/07/29 22:37

>数十分前の、これと類似した質問は僕のミスです。

あ。ホントだ。
まったく同じ問題を質問していますね。

この回答への補足

いえ、別の問題です。
a(n+1)→a(n+2)に修正しました。

・・それともa(n+2) + a(n) =0もa(n+1) + a(n) =0も同じ解法ということでしょうか？

補足日時：2008/07/29 22:42

No.3 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/07/29 23:00

もう一度言いましょう。

最初のいくつかの項を実際に計算して並べましょう。

先に質問した問題と「まったく同じ」であることに気が付くはず？

>どうにかa(n+2)-αa(n+1)=β(a(n+1)-αa(n))のような形を目指しましたが、詰まってしまいました。
まあ、それでもできるけど。なぜつまってしまうのか不思議だ。

この回答への補足

申し訳ないです、言葉が足りませんでした。

並べて答えを推測する→その答えを証明する。
という形での解法は目指していません。

そういうわけで
>どうにかa(n+2)-αa(n+1)=β(a(n+1)-αa(n))のような形を目指しましたが、詰まってしまいました。
と、なったわけですがαβが複素数になってしまい詰まりました

補足日時：2008/07/29 23:02

No.4 回答者： guuman 回答日時： 2008/07/29 23:23

虚数がでるのはあたりまえだ

a(n)=(i^(n-1)+(-i)^(n-1))/2
だからさ

No.5 ベストアンサー 回答者： Rice-Etude 回答日時： 2008/07/29 23:50

こういう解き方はどうですか？

漸化式
a(n+2)+a(n)=0 ---[1]
より
a(n+4)+a(n+2)=0 ---[2]
[1][2]の両辺の差をとると
a(n)-a(n+4)=0
∴a(n+4)=a(n)
よってこの数列は4を周期とする循環数列となる
よってa(n)=p×sin{(2nπ)/4}＋q×cos{(2nπ)/4}の形になる
n=1および2の時の値よりp=1, q=0
∴a(n)=sin(nπ/2)

この回答へのお礼

納得しました。
ありがとうございました。

お礼日時：2008/07/30 00:04

No.6 回答者： noname#75273 回答日時： 2008/07/29 23:54

フィボナッチ数列 a_(n + 2) = a_(n + 1) + a_(n) の一般項を求められれば、この漸化式も同じような解法でできると思います。