始点を置き換えることについて

△ABCの重心をＧとします。
以下、ベクトルOG=OG・・・と表すことにします。

OG=1/3(OA＋OB＋OC)ですが、
参考書を見ると、始点をBに置き換えて、
BG=1/3(BA＋BB＋BC)=1/3(BA＋BC)・・・(1)
という解説を見ます。

しかし、BG=OG-OB=1/3(OA＋OB＋OC)-OB=1/3(OA＋OC)-2/3(OB)となるし、(1)のような式は成り立ちません。

この矛盾点の解説と、ベクトルの始点を置き換えるということは
どういうことなのか（これが1番聞きたい）の解説を教えてください。

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2008/07/31 16:41

こんにちは。

（１）は、原点を点Ｏではなく点Ｂとしたときの重心の式です。
ですから、合わなくて当然です。

こう考えればよいですよ。

BG = OG - OB = 1/3(BA＋BB＋BC) - OB = 1/3(BA＋BC) - OB
つまり、重心を求めた後に、ベクトルＯＢの分だけ平行移動です。


あるいは逆に、最初に点Ｂを原点のように考えて、
BG = 1/3(BA＋BB＋BC)
これを、ベクトルＯＢの分だけ平行移動（両辺からＯＢを引く）すれば、上と同じ式になります。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/07/31 17:27

BA = OA - OB

No.3 ベストアンサー 回答者： yhposolihp 回答日時： 2008/07/31 17:51

>> BG=(1/3)(BA+BC) ・・・(1)

>> BG
>> =OG-OB
>> =(1/3)(OA+OB+OC)-OB
>> =(1/3)(OA+OC)-(2/3)(OB)

　この変形では、まだ起点OをBに置き換えてないんで、

　ここで、起点OをBに置き換えると、

　　=(1/3)(BA+BC)-(2/3)(BB)
　　=(1/3)(BA+BC)

となって、(1)　と同じです。

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>> ベクトルの起点Oを置き換えるということは。

　起点Oは、何処あってもいいんでよね。

　三角形（図形）を紙の上に描いて、起点Oを描こうとすると、
三角形（図形）の、左下に描くの普通ですが、
　三角形（図形）の、右に描いても、上方に描いてもいいし、
　内部に描いてもいいし、辺上に描いててもいいですね。

ということは、頂点A,B,Cに（重ねて）描いてもいいとなります。
これが（参考書の起点をBに置き換えて、）の意味です。

　では、何処に起点置けばいいかというと、
問題しだいで、都合の良い所に置けばいいとなります。
　二ベクトル使用で解くときは、頂点を起点にしますが、
特殊な問題では、
三角形内部に引かれた二本の線分の交点を、
起点に指定してありました。（センターの問題です。）