定積分 曲線の長さ

次の曲線の長さを求めよ
r=e^(aθ) 0≦θ≦2π
という問題です。

r´=ae^(aθ)
公式より
長さs=∫[0→2π]√{e^(2aθ)＋a^2e^(2aθ)}dθ
=∫[0→2π]√{e^(2aθ)(a^2+1)}dθ
＝e^(aθ)∫[0→2π]√(a^2+1)dθ
とやったんですが、答えの
{√(a^2+1)}(a^(2πa)-1)/a
になりません。どうやればいいでしょうか？

No.1 回答者： orcus0930 回答日時： 2008/09/24 00:41

公式より

長さs=∫[0→2π]√{e^(2aθ)＋a^2e^(2aθ)}dθ
=∫[0→2π]√{e^(2aθ)(a^2+1)}dθ
＝e^(aθ)∫[0→2π]√(a^2+1)dθ　←ここが間違ってます。
θの関数を∫の外に出してしまってます。

正しくは
(√a^2+1)∫e^(aθ)dx です。

この回答へのお礼

なるほど、気づきませんでした
ありがとうございます。

お礼日時：2008/09/24 00:43

No.2 ベストアンサー 回答者： orcus0930 回答日時： 2008/09/24 00:43

#1 最後の積分変数がミスです。

正しくは
(√a^2+1)∫e^(aθ)dθ です。

申し訳ない。