振り子の周期の求め方についてわからないことがあります

周期の平均をとるときに、例えば２００回振り子を振動させて１０回ごとの時間を計った場合、はじめの時刻と１００回目の時刻の差、１０回目の時刻と１１０回目の時刻の差、というふうに差をとり平均をだす場合と、初めと１０回目、２０回目と１０回目の差と言うふうに平均をとる場合とでは、後者の場合はよくないらしいのですがなぜだかわかる方いますか？

No.1 回答者： Willyt 回答日時： 2008/11/16 21:38

単振子ですよね。

その周期は振幅が小さいほど正確で、前者は最初に近いデータほど重み小さくしていることになるのでその方が正確だということでしょう。理由は固有方程式を導くときにsinθを近似的にθであるとしているからです。その誤差は振幅が小さくなるほど小さくなります。振り子は支点の摩擦のために段々振幅が小さくなりますよね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
なんとなくわかるような気がするのですが・・・
いまレポートを書いているのですが、それを代数的に示すことってできますか？

お礼日時：2008/11/16 22:06

No.2 回答者： siegmund 回答日時： 2008/11/16 22:48

n 回目の時刻を t(n) と書くことにします．

> 初めと１０回目、２０回目と１０回目の差と言うふうに平均をとる場合

では，
t(10) - t(0)
t(20) - t(10)
・・・・・
t(200) - t(190)
が１０振動分のデータで，これら２０個を平均することになります．
具体的に平均の式を書き下ろしてみるとどうなるでしょうか？

この回答への補足

実際の実験結果で計算したら、
１９．４－０＝１９．４
３９．４－１９．４＝２０．０
５９．４－３９．４＝２０．０
７９．６－５９．４＝２０．２
９９．７－５９．４＝２０．３
１１９．７－９９．７＝２０．０
１３９．８－１１９．７＝２０．１
１５９．７－１３９．８＝１９．９
１７９．９－１５９．７＝２０．２
１９９．９－１７９．９＝２０．０
２２０．０－１９９．９＝２０．０
２４０．１－２２０．０＝２０．１
２６０・３－２４０．１＝２０．２
２８０．２－２６０．３＝１９．９
３００．２－２８０．２＝２０．０
３２０．４－３００．２＝２０．２
３４０．４－３２０．４＝２０．０
３６０．５－３４０．４＝２０．１
３８０．６－３６０．５＝２０．１
これを平均してだした周期と、
t(100)-t(0)
t(110)-t(10)
....
t(200)-t(90)
をして平均してだした周期は違うんです。

補足日時：2008/11/16 23:25

No.3 回答者： siegmund 回答日時： 2008/11/17 00:12

siegmund です．

t(10) - t(0)
t(20) - t(10)
・・・・・
t(200) - t(190)

平均するのですから，全部足して２０で割るのですよね．
全部足すとどうなります？
項が２０個ありますか，それとも？

この回答への補足

全部足すと３８０．７になって、項の数は１９だから１９で割るってことですか？

補足日時：2008/11/17 00:20

No.4 回答者： Willyt 回答日時： 2008/11/17 06:18

微分方程式の原式にある sinθ　をテイラー展開して二項以上取り、摩擦減衰を入れると実際に近い式が出ます。

これは解けないでしょうから数値積分して見るといいですね。そうやって出した振動を二つの平均の採り方で較べて見るといいですね。

No.5 回答者： siegmund 回答日時： 2008/11/17 08:20

具体的数値じゃなくて，t のままやってみて下さい．

全部足すんだから
{t(10)-t(0)} + {t(20)-t(10)} + ・・・ + {t(200)-t(190)}
ですよね．
一見，項が２０個あるように見えますが，式が簡単になりませんか？

同じことですが，No.2 の補足で同じ数字が出てきていませんか？

> 全部足すと３８０．７になって、
３８０．６ですね．
９９．７－５９．４＝２０．３
２２０．０－１９９．９＝２０．０
が違っています．
３８０．６というのはちょうど一番最後の(２００振動の)時刻ですが，
これは偶然でしょうか？