No.3
- 回答日時:
>gef00675さんの回答からすると、「右回り」が左手系で、「左回り」が右手系でしょうか?
「左手系」「右手系」とは何ですか?と聞かれるだけです。
自分で考えましょう。
No.2
- 回答日時:
平面の場合の行列式
|a b|
|c d|
の絶対値は、二つのベクトルの作る平行四辺形の面積を表しているということを習ったと思います。いま、(a,c)=x、(b,d)=yと表し、xとyのなす角をθとします。ただし、θはxからyに向かって測り、反時計方向を正としておきます。平行四辺形の面積は
S=|x||y|sinθ
です。ここで、(b,d)を-π/2回転したベクトルy’=(d,-b)を考えると、Sはxとy'の内積で表せます。
S=|x||y'|cos(90-θ)=ad-bc
と表せます。実際に図を書いて確かめてください。
このとき、ad-bcの符号は、0<θ<πのとき正、π<θ<2πのとき負になっています。つまり、ベクトル(a,c)を反時計回りに回転して、ベクトル(b,d)に重ねるとき、回転角θがπより小さければ、行列式の値は正、πより大きければ負といえます。
しかしながら、この符号は上記のような角度のとり方をしたからそうなったのであって、二つのベクトルを入れ替えると符号は逆になってしまいますね。
行列式の符号の決め方は、単なる約束事であって、特別の理由があってそうなったわけではありません。プラスマイナスを逆にしても理論的な不都合はありません。ただ、符号の決め方を統一しておかなければ世の中が混乱するのでそう決められているだけです。
同様に3×3の行列式の符号は、3つのベクトルがこの順に右手系をなすときプラス、左手系をなすときマイナスになるように決められています。
さらに、n×nの行列式では、もはや人間の直観がおよばないので、逆に、行列式の符号が正になるような順序にならんでいるベクトルを右手系とよんだりします。
以上のような説明で、ご質問の回答になったでしょうか。
この回答への補足
回答ありがとうございます。
>ここで、(b,d)を-π/2回転したベクトルy’=(d,-b)を考えると、Sはxとy'の内積で表せます。
S=|x||y'|cos(90-θ)=ad-bc
と表せます。
・・なぜ、-π/2回転するのでしょうか?
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