合成関数の偏微分法を用いた解き方

いつもお世話になっています。
以下の問題を解いてみたのですが、あっているのか自信がもてません。
（特に、(4)(5)のsinθ,cosθが含まれるケース）
間違いなど、あればご指導のほど、よろしくお願いいたします。

【問題】
「合成関数の偏微分法」を用いて、継ぐの合成関数についてZu,Zv(またはZθ,Zr)を求めよ。

(2) z=x^2-y, x=u+v, y=uv

Zu = Zx・Xu + Zy・Yu
= 2x・1+(-1)・v=2x-v
Zv = Zx・Xv + Zy・Yv
= 2x・1+(-1)・u=2x-u

(3) z=e^x・sin(y), x=u-v, y=uv

Zu = Zx・Xu + Zy・Yu
= e^x・sin(y)・1+e^x・cos(y)・v
= e^x・sin(y)+v・e^x・cos(y)
Zv = Zx・Xv + Zy・Yv
= x^x・sin(y)・(-1)+e^x・cos(y)・u
= -e^x・sin(y)+u・e^x・cos(y)

(4) z=x+y, x=r・cosθ, y=r・sinθ

Zθ= Zx・Xθ + Zy・Yθ
= (1)・(-r・sinθ)+(1)・(r・cosθ)
= (-r・sinθ)+(r・cosθ)
= -r(sinθ-cosθ)
Zr = Zx・Xr + Zy・Yr
= (1)・(cosθ)+(1)・(sinθ)
= sinθ+cosθ

(5) z=x^2+2xy, x=r・cosθ, y=r・sinθ

Zθ= Zx・Xθ + Zy・Yθ
= (2x+2y)・(-r・sinθ)+(2x)・(r・cosθ)
= 2{(x+y)(-r・sinθ)+x(r・cosθ)}
= -2r{(x+y)(sinθ)-x(cosθ)}
= -2r(x・sinθ+y・sinθ-x・cosθ)
= -2r(r・cosθ・sinθ+r・sinθ・sinθ-r・cosθ・cosθ)
= -2r^2(cosθ・sinθ+sinθ・sinθ-cosθ・cosθ)
= -2r^2(sin^2θ+cosθsinθ-cos^2θ)
Zr = Zx・Xr + Zy・Yr
= (2x+2y)・(cosθ)+(2x)・(sinθ)
= 2{(x+y)・(cosθ)+(x)・(sinθ)}
= 2{x・cosθ+y・cosθ+x・sinθ}
= 2{r・cosθ・cosθ+r・sinθ・cosθ+r・cosθ・sinθ}
= 2r{cosθ・cosθ+sinθ・cosθ+cosθ・sinθ}
= 2r{cos^2θ+2・sinθ・cosθ}
= 2r・cosθ{cosθ+2・sinθ}

以上、よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/01/04 14:30

(2)

OK

(3)
> = x^x・sin(y)・(-1)+e^x・cos(y)・u
「x^x」→「e^x」
以外はOK

(4)
OK

(5)
合っています。

ただし最終的な式の整理の仕方は色々ありますのでたの式の答もありえます。
たとえば
Zθ=-r^2(sin2θ-2cos2θ)
Zr=r(1+cos2θ+2sin2θ)
という式の答もあります。

この回答へのお礼

いつも丁寧なアドバイスをしていただき、ありがとうございます。
(5)の式の書き方はいろんな方法があるんですね。
大変参考になりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2009/01/04 19:03

No.1 回答者： noname#111804 回答日時： 2009/01/04 11:37

（２）

OKです。

（３）
OKです。

この回答へのお礼

お返事が遅くなりました。
早速、チェックしていただき、ありがとうございました。
助かりました。

お礼日時：2009/01/04 19:01