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自然数を図のように並べるとき、一番上の段の左からn番目の数をnの式で表せ。
1361015
25914
4813
712
11
が図です。全角は一桁、半角二つのは二桁です。
(1)一番上の段の左からn番目の数をnの式で表せ。
A.1/2・n・(n+1)これはわかりました。
(2)500は、左から何番目、上から何段目にあるか。
500が郡数列1)2,3)4,5,6)・・・の第32群、第4項であり、左から4番目というところまではわかったのですが、上から何段目になるのかが、よくわかりません。
答えは29なのですが。
(3)左からn番目、上からm番目の数をnとmの式で表せ。
この問題は手が着きません・・。
(2)と(3)の解説をお願いしたいのですが、
皆さまよろしくおねがいしますm(__)m
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
さらに一般的にした問題ですね・・・(^_^)/
(2)
n=31のときAn=31・32/2=496なのでたしかに500は次の第32群の第4項です。
で、497,498,499,500と一番左の、上から32番目から斜めに並んでいくわけです。
1 3 6 ・・・ 496
2 5
4
7
・ 500←上から29番目
・ 499
・ 498
497←上から32番目
ね、上から29番目でしょ(-_-)ウーム
(3)
この書き込みではちょっと説明しにくいのですが、
n番目
↓
1 3 6 ・ ・
2 ・
4 ・
m番目→・ ・ ・ ・ Amn
n番目→・
・
m+n-1・
番目
Amnは第m+n-1群の第n項になります。
この図だとなんだかわからないですが、具体的な数で確かめてください。(^_^;)
すると、
Amn=(第m+n-2群の最後の数)+n
=(m+n-2)(m+n-1)/2 +n
=((m+n)^2-3m-n+2)/2
と、なります。
なんかすごい式ですが、あってます/(-_-)ヽ
説明不足を承知で、いかがでしょうか?
この回答への補足
(3)の答えの記入を忘れてました。
A.1/2(m+n-2)(m+n-1)+n
と書いてありました。
皆さま申し訳ありませんでした。
No.5
- 回答日時:
#3の回答者です。
やっぱり、いきなり「第s群の・・・」なんて出しちゃだめですよね(^^ゞ、補足説明です。
ある、任意の群を選び、それを「第s群」とします。この「第s群」に属する数で上からm段目の数を求めたいときは、まず、この「第s群」の1段目の数つまり左からs番目の数を求めます。問(1)よりこれは
(1/2)*s*(s+1)
と、なります。上からm段目の数というのはこの数【(1/2)*s*(s+1)】からm-1を引いてやればいいんです。つまり
(1/2)*s*(s+1)-(m-1)
ですね。これは図をじっくり見ると分かります。というかこの辺がパズルみたいな解き方ですね(^^ゞ
この問題では第s群というのは実はn+m-1(実際に求めたい群)なので、
(1/2)*(n+m-1)*(n+m-1+1)-(m-1)
=(1/2)*(n+m-1)*(n+m)-(m-1)
となります。
ん~説明って難しいですね(^^ゞ
皆さんの式(含模範解答)は形が全部違うけどExcelで計算式を設定しmとnに適当な数字を入れるとピッタリ同じ数字が並びますね~なんか凄いですヽ(^o^)丿
補足していただいてどうもありがとうございますm(_)m
なるほど!です。ありがとございます!
数列って特にパズルみたいですよね~
頭が堅いと、大変です・・。
てか模範解答も複数掲載してほしいですね、この問題は解き方がたくさんあるようなので。
tksoftさん皆さんどうもありがとうございました!
No.3
- 回答日時:
(2)について
この図を良く見ると、第1群は1段1行、第2群は2段2行・・・第n群はn段n行となることがわかります。このとき右から4番目ということは、下からも4番目になります。つまり上からはn-4+1番目、第32群ですから
32-4+1=29番目になります。
(3)について
これは左からn+m-1番目の数からm-1を引いたものになります。
左からn番目ということは第n群ですよね、ここから下へ一段下がればそこはn+1群に属する数ということになります。第s群の上からm段目の数は(1/2)*s*(s+1)-(m-1)となり、s=n+m-1ですから・・・
(1/2)*(n+m-1)*(n+m)-(m-1)
となります。
なんか、最近数学をやってないのでまるでパズルを解くような解法になってしまいましたがこんなもんでよろしいでしょうか(^^ゞ
この回答への補足
わからないところがあるのですが、お聞きしてもよろしいでしょうか?
(3)のところなのですが、
>左からn番目ということは第n群ですよね、ここから下へ一段下がればそこはn+1群に属する数ということになります。
>第s群の上からm段目の数は(1/2)*s*(s+1)-(m-1)となり、
上の引用文のところはなんとか理解できたのですが、
したのところがなぜこうなるのかがよくわかりません。
よかったら教えて下さいm(__)m
いえいえ、パズルを解くようにとはとても頭がやらかいんだなとうらやましいです(^^;
参考にさせていただきます。
ありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
まず(3)から求めたい数列をAnとする。
列で見ると全て階差数列になっていますよね。
そして初項は(1)より1/2・n・(n+1)です。
階差をBnであらわすと
初項はn、公差1です。
これより
Bn=n+(m+1)
となり。
m-1
An=1/2・n・(n+1)+Σn+(m+1)
k=1
=1/2・n・(n+1)+{(m-1)・n+1/2m(m-1)+(m-1)}
= 1/2・n・(n+1)+(m-1)(n+1/2m-1)
になります。(形が汚いけど。)
(2)のほうは手作業で求めました。
1/2・n・(n+1)≧500
n・(n+1)≧1000
だから30^2=900
この辺だから計算していくと
31・32=996
32・33=1056
だからn=32、またそのとき一番上の数字は
528
500は
528-500+1=29
32-29+1=4
よってn=4、m=29
No.1
- 回答日時:
とりあえず(3)だけ
(1)(2)(3)(4)(5)(6)
(1)136101521
(2)2591420
(3)481319
(4)71218
(5)1117
(6)16
m段目の一般項 Σはk=1からn-1まで
1+Σ(k+1)=(m^2-m+2)/2
左からn番目、上からm段目は初項(m^2-m+2)/2で項差1の階差数列
ところでこの階差数列の初項がm+1である。
例えば(3)の場合4、5・・・
(4)の場合5、6・・・
よってこの階差数列はΣ(k+m)である。(k=1からn-1まで)kが1からなので+(m+1)じゃなくて+m。
ゆえに一般項は(m^2-m+2)/2+Σ(k+m)
=(m^2-m+2)/2+n(n-1)/2+m(n-1)
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