微分のdx/dtというような表記の仕方がいまいち良くわかりません

記号の意味そのものは良くわかるのですが…
そのdx/dtに掛けたり割ったりする感覚が良くわかりません。
dy/dt×dt/dx＝dy/dxのような？感じです
また、高次導関数をd^ny/dx^nと表記する仕組みも良くわかりません。
なぜ分数で言う分子の位置ではdに指数がついているのに分母の位置にではxに指数が付いているのか…まったくの謎です。
数学が苦手なので基礎的な部分から教えてください

No.2 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2009/02/24 22:33

こんばんは。

ｄｙ／ｄｘ　は、ある瞬間（ｘの微小変化）における、
ｘの変化量に対するｙの変化量の割合です。

たとえば、ｙ　＝　ｘ^2　という関数のグラフを例に取りますと、


ｘがａからａ＋２に変化するときの、ｘの変化に対するｙの変化の割合
　＝　（ｙ（ａ＋２）－ｙ（ａ））／（ａ＋２　－　ａ）
　＝　（（ａ＋２）^2　－　ａ^2）／（ａ＋２　－　ａ）
　＝　（４ａ　＋　４）／２
　＝　２ａ　＋　２


ｘの変化の幅を１つ減らせば、

ｘがａからａ＋１に変化するときの、ｘの変化に対するｙの変化の割合
　＝　（ｙ（ａ＋１）－ｙ（ａ））／（ａ＋１　－　ａ）
　＝　（（ａ＋１）^2　－　ａ^2）／（ａ＋１　－　ａ）
　＝　２ａ　＋　１


では、ｘの変化をさらに１つ減らした場合を考えます。
それは、ｘをａからａに変化させるということです。
ａがいかなる値であっても、ｙ＝ｘ^2のグラフには、たしかに傾きがありますが、
傾きというのは、変化の割合と同じです。
ですから、答えがあるはずです。
そこで、上記と同じく、ｘ＝ａ　における変化の割合を求めるとすると、どうなるかと言えば、
（ｙ（ａ）－ｙ（ａ））／（ａ－ａ）　＝　０／０　（＝不定）
という、わけのわからない結果となってしまいます。
しかし、グラフの傾きも、変化の割合も存在するはずです。

そこで、非常に小さい変化量を、ｄをつけた記号で表すことを考えます。

ｘの変化は、　ａ　→　ａ＋ｄｘ
ｙの変化は、　ｙ（ａ）　→　ｙ（ａ＋ｄｘ）

ｘの変化量は、ｄｘ　（　＝　ａ＋ｄｘ　－　ａ）
ｙの変化量は、ｄｙ　＝　ｙ（ａ＋ｄｘ）　－　ｙ（ａ）
です。


ｘ＝ａにおける、ｘの変化に対するｙの変化の割合
　＝（ｙ（ａ＋ｄｘ）－ｙ（ａ））／（ａ＋ｄｘ　－　ａ）
　＝　（（ａ＋ｄｘ）^2　－　ａ^2）／（ａ＋ｄｘ　－　ａ）
　＝　（２ａｄｘ　＋　（ｄｘ）^2　）／ｄｘ
とすることができます。

分子に（ｄｘ）^2　がありますが、
ｄｘ自体が非常に小さい量ですので、（ｄｘ）^2　は、全く無視してよい量となります。
よって、
ｘ＝ａにおける、ｘの変化に対するｙの変化の割合
　＝　（２ａｄｘ　＋　（ｄｘ）^2　）／ｄｘ
　＝　２ａｄｘ／ｄｘ
　＝　２ａ
となります。

これで、ｘ＝ａ　のときの　ｄｙ／ｄｘ　は、　２ａ　と表せることがわかりました。

ということは、いかなるｘの値についても、
ｄｙ／ｄｘ　＝　２ｘ
であるということです。

以上のことで、
・ｘ^2　を微分したら　２ｘ　になること
・ｄｙ／ｄｘ　は、ｘの変化に対するｙの変化の割合
の意味がおわかりになったと思います。


そして、
たとえば、ｙ、ｔ、ｘ　の３変数があって、
ある地点において、
ｔの変化量のｘの変化量に対する割合が４で、
ｙの変化量のｔの変化量に対する割合が３だとしましょう。
すると、ｘが１変化するのに対してｙは１２変化します。
ｄｔ／ｄｘ　＝　４
ｄｙ／ｄｔ　＝　３
ｄｙ／ｄｘ　＝　１２　＝　３　×　４　＝　ｄｙ／ｄｔ・ｄｔ／ｄｘ


なお、
高次導関数の表記については、単なる約束事だと思っておけばよいです。
素直に書けば、
１回微分は、ｄｙ／ｄｘ
２回微分は、ｄ（ｄｙ／ｄｘ）／ｄｘ
３回微分は、ｄ（ｄ（ｄｙ／ｄｘ）／ｄｘ）／ｄｘ
ということになりますが、これでは見にくいので。


以上、ご参考になりましたら幸いです。

No.1 回答者： owata-www 回答日時： 2009/02/24 21:04

d^ny/dx^n

→(d^n/dx^n)y = (d/dx)*(d/dx)*… = (d^n/dx^n)
となります

dt = t (i1) - t (i0)
dx = x (i1) - x (i0)
dy = y (i1) - y (i0)
つまり変化分
ですから、

dy/dt×dt/dx＝ {y(i1)-y (i0)}/{t(i1)-t(i0)}×{t(i1)-t(i0)}/{x(i1)-x(i0)}
＝{y(i1)-y (i0)}/{x(i1)-x(i0)}
＝dy/dx

となります