expの肩に行列が入るとどうなりますか？

expの中に行列が入った式は同様に行列として扱われるようなのですが、
この意味が分かりません。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa937701.html
例えばこのページでは
(1)　　Z(β) = Σ exp[-βE(n)]
という式と
(2)　　Z(β) = Tr exp[-βH]
という式が等価だというように書かれていますが、例えばexpに行列を入れて対角項はどうなるのでしょうか？
そもそも行列はただの数字ではないので行列には出来ないと思うのですが・・・

どなたか教えて下さい。

No.4 ベストアンサー 回答者： noname#161582 回答日時： 2009/02/28 21:00

No.3です。

少し追加説明させてもらいます。

今の場合、Hがエルミートということに注意してください。
一般にエルミート行列Aは適当なユニタリ行列Uを用いて

U†AU＝B ・・・(イ)

のように対角行列Bに変換できます。
Bの対角成分はAの固有値なのでTrBがAの固有値のAnの和であることは理解できるかと思います。

一方(イ)の左辺のトレースの計算ですが、少し詳しくやってみましょう。
行列Aの(i,j)成分をA_ijなどと書くことにします。

Tr(U†AU)＝Σ_i (U†AU)_ii＝Σ_iΣ_jΣ_k (U†_ij)(A_jk)(U_ki)
＝Σ_kΣ_iΣ_j (U_ki)(U†_ij)(A_jk)＝Σ_k (UU†A)_kk＝Tr(UU†A)＝Tr A ・・・(ロ)

最後の等式でUがユニタリ行列であること[U†＝U^(-1)]を使いました。
結局、エルミート行列のトレースはユニタリ変換で不変で、Aが対角化されていなくても

TrA＝TrB＝Σ_n An ・・・(ハ)

であることが示されました。さらに

(U†AU)^k＝U†(A^k)U＝B^k ・・・(ニ)

が成り立ち、B^kは対角行列で対角成分は(An)^kなので上記と同様の議論により

Tr(A^k)＝Tr(B^k)＝Σ_n (An)^k ・・・(ホ)

が成り立ちます。

No.7 回答者： BASKETMM 回答日時： 2009/03/01 11:00

No.6 です。

展開式に X^2 などが出てきますから、X は正方行列でなくては定義出来ませんね。書き忘れです。ごめんなさい。

No.6 回答者： BASKETMM 回答日時： 2009/03/01 10:55

私は数学専門ではありませんから、易しいことを申し上げます。

指数関数 e^x はテーラー展開出来ます。
展開式の中の x の部分に行列 A を入れれば。よいのです。
これを定義と思っています。

定義はどのようにしてもよい訳ですが。その定義を用いた計算をしたり、定理を考えた時に、数学で用いられる色々な事象と矛盾しない定義がよいのでしょう。

複素数の場合とか、マクローリン展開との関係とか、難しいことは専門家の方にお願いいたします。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/02/28 22:26

え～と....

「行列のトレースはその固有値の和」です. 固有方程式で, 解と係数の関係を考えてください.
ついでにいうと行列式は固有値の積.

No.3 回答者： noname#161582 回答日時： 2009/02/28 18:27

expのテーラー展開によって行列のexpを定義します。

つまりAを行列とすると、expAはべき級数

expA＝Σ_k (1/k！)A^k (Σ_kはkについて和をとるという意味です) ・・・(1)

によって定義されます。
expのトレースも、べき級数の形でトレースをとればよいわけです。

実例を挙げると、

exp[-βH]＝Σ_k (1/k！)(-βH)^k ・・・(2)

∴ Tr exp[-βH]＝Σ_k (1/k！)Tr(-βH)^k ・・・(3)

ここでHの固有値をEnとすると

Tr(-βH)^k＝Σ_n (-βEn)^k ・・・(4)

なので

Tr exp[-βH]＝Σ_nΣ_k (1/k！)(-βEn)^k＝Σ_n exp[-βEn] ・・・(5)

を得ます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

でも、
ここでHの固有値をEnとすると

Tr(-βH)^k＝Σ_n (-βEn)^k ・・・(4)

の部分が理解出来ません。

この式が成り立つためには、行列Hが対角化されていないと成り立たないのではないでしょうか？
トレースには固有値を足し算する性質はなかったように思うのですが・・・

お礼日時：2009/02/28 18:47

No.2 回答者： cozycube1 回答日時： 2009/02/28 18:27

　質問文が意味不明になっているのは、

（たとえば、
>そもそも行列はただの数字ではないので行列には出来ないと思うのですが・・・

って、行列が行列にできないって何の話でしょう？）
基本的に質問者様が、行列の指数関数をご存知ないという単純な話と察します。そういう関数が定義されているだけの話です。たとえば、
http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/~tsuboi/sk2-2007/ …
といった感じです。

No.1 回答者： ryn 回答日時： 2009/02/28 18:23

> そもそも行列はただの数字ではないので行列には出来ないと思うのですが・・・

「指数には出来ない」ですよね．
出来ないというより，どう定義するかだけだと思います．

例えば，オイラーの公式として有名な
　e^{iθ} = cosθ + isinθ
という式でも指数に虚数がはいっていて，
虚数乗ってどういうことだ？となるかもしれませんが，
　e^z = Σ z^n/n!
で定義されています．

ご質問の行列の場合も同様で
　e^A = Σ A^n/n!
で定義されています．