極限値、無限級数の和の問題を教えてください！！

Question

すみません。だれか解ける方、宜しくお願いします。
1. a＞1のとき、次の極限値を求めよ。
　　　　lim[n→∞]∫［0.n] {1＋(ｘ/ｎ)}^ne^(-ax)dx


2.次の無限級数の和を求めよ。ただし、｜x｜＜1、αは実数とする。
　xsin^2（α）-(x^2/2)sin^2（2α）+(x^3/3)sin^2（3α）-・・・

mmky · Accepted Answer

参考程度ということで

2.次の無限級数の和を求めよ。ただし、｜x｜＜1、αは実数とする。 
｜x｜＜1、αは実数とする。 
xsin^2（α）-(x^2/2)sin^2（2α）+(x^3/3)sin^2（3α）-・・・
ですか。わりと面倒ですね。
記号の整理をして、
[k:0→n]{Σ(x＾2k+1)sin^2(2k+1)α/(2k+1) - Σ(x＾2k)sin^2(2k)α/(2k) }
=Σ(x＾2k){(x)Σsin^2(2k+1)α/(2k+1) - Σsin^2(2k)α/(2k) }
｜x｜＜1　だから収束するね。積分形式に直してと、
[y=2k:0→∞]∫(x＾y)dy*[y=2k+1:0→∞]{∫xsin^2(yα)/y dy-∫sin^2(yα)/y dy}
→{-1/lnx}*{π/4}{x-1}={-(x-1)/lnx}*{π/4}
------------------------------------
z=x＾y, lnz=ylnx, dz/z=dy*lnx
∫(x＾y)dy=∫(1/lnx)dz={(1/lnx)(x＾y)}[y=0→∞] =-1/lnx
z=yα, y=z/α, dy=dz/α
∫sin^2(yα)/y dy=∫sin^2z/z dz=π/4
------------------------------------
ということかなあ。間違ってるかも、参考程度ですよ。

mmky · Answer

参考程度に
1. a＞1のとき、次の極限値を求めよ。
　　　　lim[n→∞]∫［0.n] {1＋(x/n)}^ne^(-ax)dx 

(1)はそのままでは面倒なので、
e^x=lim[n→∞]{{1+(x/n)}^n　の関係を利用して、　

{1＋(x/n)}^n*{{1+(x/n)}^n}＾-a={{1+(x/n)}^n}＾-a+1
∫［0→n]{{1+(x/n)}^n}＾-a+1 dx
1+(x/n)=y, dx=ndy
=∫［0→n]n*y^n(-a+1) dx=n*y^{n(-a+1)+1}/{n(-a+1)+1}
=n*{{1+(x/n)}^{n(-a+1)+1}/{n(-a+1)+1}
=n*{{{1+(x/n)}^n}＾(-a+1)*{1+(x/n)}}/{n(-a+1)+1}
x:0→n
=2*n*{2^n}＾(-a+1)/{n(-a+1)+1} - n/{n(-a+1)+1}
=2*{2^n}＾(-a+1)/{(-a+1)+1/n} - 1/{(-a+1)+1/n}
a＞1, (-a+1)＜1
n→∞, 2*{2^n}＾(-a+1)/{(-a+1)+1/n}→0
=-1/(-a+1)

という感じですかね。あってるかなあ？・確認してね。

springside · Answer

１．
lim[n→∞]{1＋(ｘ/ｎ)}^n＝e^xなので（x/n=1/mとでも置いてやれば示せます）、

与式＝∫［0～∞] e^x・e^(-ax)dx　（下記※）
＝ ∫［0～∞]e^(1-a)x dx
＝[e^(1-a)x / (1-a) ]{∞～0｝
＝1/(a-1)　（∵a>1なので1-a<0であるから、lim[x→∞]e^(1-a)x=0）

たぶん、上記の※の変形の部分で、limと∫を入れ替えてもいい（つまり、積分する前にlim[n→∞]{1＋(ｘ/ｎ)}^nを計算してしまってもいい）ということを言わなければならないと思います。
これは、lim[n→∞]{1＋(ｘ/ｎ)}^nが一様収束するから、ということでＯＫだったような記憶があります（うろ覚えです。全然違うかも）。

noname#108554 · Answer

2.ですが、要点だけ書きますと、
1.sin^2をcosを使った式に直す。
2.Σ(xのみの項)-Σ(xのみの項)×cos(2nα)という形になる。
3.f(x,α)=Σ(xのみの項)×cos(2nα)と定義、
　これについての微分方程式を導く。
　ヒント：αについては2階、xについては・・・
4.適当に変数変換をすると、波動方程式が出てくる。
　ヒント：オイラー型の微分方程式で用いる変換
5.その解はダランベールの公式を用いて求める。
　ただし、波動方程式として解釈をすると、速度にあたる数が虚数になるので注意。

以上の手順で求めることが出来ます。
答えは秘密です。がんばってください。

極限値、無限級数の和の問題を教えてください！！

参考程度に

１．

参考程度ということで

2.ですが、要点だけ書きますと、

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