単振り子が切れないように…

質量mのおもりを長さrの糸に取り付けた単振り子がある。
(糸は同じおもりをもう1つ付けてもギリギリ切れない強度を持っている)

この(おもり1つだけの)単振り子を糸が切れないように運動させるとき、
おもりを最大どの高さまで上げることができるか。
但し、高さの基準は振り子の最下点とする。

↑の問題が分かりません(^^;
2mgが限界なのだから、あとmg分の力にも耐え得るということですよね…？
おもりに働く張力と重力以外の力は…慣性力なんでしょうか？
解法を説明していただけると助かります。

No.3 ベストアンサー 回答者： cfv21 回答日時： 2009/05/11 23:11

単振り子と書かれていますが、不等速円運動の問題です。

高校の範囲で考えます。高校の範囲では、不等速円運動の接線方向成分について運動方程式が扱えません。代わりに、力学的エネルギー保存則を考えます。単振り子なのでエネルギー保存は成立しています。
おもりの最高点で糸は鉛直方向と角θをなすとします。
最高点と最下点では、高さの差はr(1－cosθ)だけあります。最高点では、おもりの速さは0で運動エネルギーも0です。
最下点を基準にすると、角θをなす時点での位置エネルギーはmgr(1－cosθ)です。これが最下点での運動エネルギー(1/2)(mv^2)に等しいとおくと、
(1/2)(mv^2)＝mgr(1－cosθ)
最下点での運動方程式は、最下点での張力をTとして、
T－mg＝mv^2/r
両式よりv^2を消去して、
(T－mg)r＝2mgr(1－cosθ)
∴ T＝mg(3－2cosθ)
θを0から大きくしていくと、cosθは小さくなるので、Tは大きくなります。
T＝2mgのときに糸が切れるので、糸が切れない条件は、
T＝mg(3－2cosθ)≦2mg
∴ cosθ≧1/2
従って、θを60度(π/3)よりも大きくすると切れることになりますが、このくらいの角度になってしまうと「単振り子」とは言えなくなります。

この回答への補足

θを60度よりも大きくすると切れるということは、
振り子は初めにr/2の高さまで上げることができるということで良いのでしょうか…？

補足日時：2009/05/12 20:39

No.2 回答者： starshira 回答日時： 2009/05/11 21:30

振り子が運動しているとき，張力が2mgを超えるとおもりが吹っ飛んでいく

という意味だと思われます。

つまり，運動中のおもりにはたらく，張力とは反対の力（No.1さんの遠心力ですね）が，2mgを超える条件を見つければいいのだと思います。

No.1 回答者： MOMON12345 回答日時： 2009/05/11 21:25

遠心力でしょう