偏微分(超基本事項)に関する質問です

Ｏ⊂Ｒ^2が開集合でf:Ｏ→Ｒとする。
fがＯでＣ^2級とする。(a,b)∈Ｏとする。

もし、f_xx(a,b)＞０ならば、fはＣ^2級なので、h,kが十分０近いときは任意の0<θ<1に対して、f_xx(a+θh,b+θk)＞０であるとどうして言えるのですか？

感覚的には、もちろんわかるのですが、示せずに困ってます。

f_xxとは、xについてfを２回偏微分したという意味です。

どなたか教えていただけないでしょうか？

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2009/05/12 20:57

これは偏微分の問題ではありません

次の問題と同じです

x=0の近傍で連続な関数fがあり，f(0)>0であるとき，
十分小さいδ>0に対して，f(δ)>0 とできる
証明は連続の定義，実数の稠密性，絶対値の性質でほぼ自明．

No.2 回答者： jamf0421 回答日時： 2009/05/13 11:09

数学のど素人で口を出すのも気がひけますが、もしかして、質問者さんは、No1さんの言われるf(0)>0のときf(δ)>0となるδがかならず存在するというのは納得されていたとして、（私同様に）f(a,b)>0という2次元に引っかかっていたのではないでしょうか。

f(a+θh,b+θk)をf(a+ρcosφ,b+ρsinφ)と読み替えて、f(a+ρcosφ,b+ρsinφ)>f(a,b)>0のようなφの時はO.K.ですが、f(a,b)>f(a+ρcosφ,b+ρsinφ)のようなφに対応してもδ(φ)があってρ<δ(φ)とすればf(a,b)>f(a+ρcosφ,b+ρsinφ)>0と必ず出来ると思えばよいのではないでしょうか。（議論に自信ありませんが...)