O⊂R^2が開集合でf:O→Rとする。
fがOでC^2級とする。(a,b)∈Oとする。

もし、f_xx(a,b)>0ならば、fはC^2級なので、h,kが十分0近いときは任意の0<θ<1に対して、f_xx(a+θh,b+θk)>0であるとどうして言えるのですか?

感覚的には、もちろんわかるのですが、示せずに困ってます。

f_xxとは、xについてfを2回偏微分したという意味です。

どなたか教えていただけないでしょうか?

A 回答 (2件)

数学のど素人で口を出すのも気がひけますが、もしかして、質問者さんは、No1さんの言われるf(0)>0のときf(δ)>0となるδがかならず存在するというのは納得されていたとして、(私同様に)f(a,b)>0という2次元に引っかかっていたのではないでしょうか。


f(a+θh,b+θk)をf(a+ρcosφ,b+ρsinφ)と読み替えて、f(a+ρcosφ,b+ρsinφ)>f(a,b)>0のようなφの時はO.K.ですが、f(a,b)>f(a+ρcosφ,b+ρsinφ)のようなφに対応してもδ(φ)があってρ<δ(φ)とすればf(a,b)>f(a+ρcosφ,b+ρsinφ)>0と必ず出来ると思えばよいのではないでしょうか。(議論に自信ありませんが...)
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これは偏微分の問題ではありません


次の問題と同じです

x=0の近傍で連続な関数fがあり,f(0)>0であるとき,
十分小さいδ>0に対して,f(δ)>0 とできる
証明は連続の定義,実数の稠密性,絶対値の性質でほぼ自明.
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