不定積分の微分

ちょっと表現の仕方がわからなかったのですが、下の積分の解き方に苦労しています。さらに、その積分したものを微分しないといけないのですが...

∫e^x.(f(t-x))^3 dx　（積分区間は0からt）です。

部分積分で解いてみようと試みたのですが、なにせ不定関数も混ざっているので、ちょっとやりづらいんです…
どなたか上の積分の解き方を教えてはもらえないでしょうか。さらにその積分で出た解も微分したいのですが、それも踏まえてよろしくお願いします。

No.1 回答者： info22 回答日時： 2009/05/25 17:39

g(x)=∫(e^x)(f(t-x))^3 dx…(△)とおくと

g'(x)=(e^x)(f(t-x))^3
g'(t)=(e^t)(f(0))^3…(●)
g(t)=(e^t)(f(0))^3+C
g(0)=(f(0))^3+C

∫[0,t](e^x)(f(t-x))^3 dx=g(t)-g(0)
={(e^t)-1}(f(0))^3…(Ans.(1))
（△)から
{∫[0,t](e^x)(f(t-x))^3 dx}'={g(t)-g(0)}'
=g'(t)=(e^t)(f(0))^3 　…(Ans.(2))

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/05/25 18:22

∫e^x (f(t-x))^3 dx = ∫e^(t-x)(f(x))^3 dx

= e^t ∫e^-(x) [f(x)]^3 dx
だけど, f(x) が分からないとこれ以上は進まないような気がする.

No.3 回答者： f272 回答日時： 2009/05/25 20:44

一般に∫[0,t]f(x)dxはtの関数でそれをtで微分した

(d/dt)∫[0,t]f(x)dx
は
(d/dt)∫[0,t]f(x)dx=f(t)
となることは知っていると思う。だから
(d/dt)∫[0,t]e^x.(f(t-x))^3 dx=e^t.(f(t-t))^3=e^t.(f(0))^3
ということは
もとの不定積分∫e^x.(f(t-x))^3dxはxの関数で、xで微分したらe^x.(f(0))^3になるものだから、e^x.(f(0))^3+Ｃのはず。

No.4 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/05/25 21:25

ちょっと混乱しているので質問させてください。

#1の回答で
>g(t)=(e^t)(f(0))^3+C
>g(0)=(f(0))^3+C
これって本当に成り立ちますか?g(x)はxの関数ではありますが、tも含んでいるために成り立たないような気がします。
第一、g(x)=(e^x)(f(0))^3+Cであるなら、g'(x)=(e^x)(f(t-x))^3は成り立たないような気がするのですが。
#2の変形をするのが正しいと思うのですが。

No.5 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/05/25 21:29

#4のものです。

#3についても教えてください。
d/dt∫[0,t]f(x)dx=f(t)
としていますが、f(x)の式の中にtが含まれる場合、この式は成り立たないと思いますがどうでしょうか。
f(x)の不定積分F(x)に0を代入したものがtを含んでいるためtで微分してもゼロにならないような気がするのですが。

No.6 回答者： Ae610 回答日時： 2009/05/25 21:34

∫[0～t]e^x・(f(t-x))^3 dx

t-x=y とおくと　dx=-dy　　x=0のときy=t , x=tのときy=0
与式＝g(t)とおけば
g(t)＝e^t・∫[0～t]e^(-y)・(f(y))^3 dy
依って
d/dt｛g(t)｝＝e^t・∫[0～t]e^(-y)・(f(y))^3 dy + e^t・e^(-t)・｛f(t)｝^3
＝g(t) + ｛f(t)｝^3

No.7 回答者： f272 回答日時： 2009/05/25 22:46

#3です。

大きく勘違いしてました。
#6の人のようにしてください。

No.8 回答者： info22 回答日時： 2009/05/26 02:23

#1です。

A#1は勘違いしていたようです。
間違いですのでA#1は削除してください。

#6さんの通りf(t-x)=f(y)とするy=t-xの置換をするやり方が正解ですね。
つまり、
g(t)=∫[0,t]exp(x)*(f(t-x))^3dxとおくと
g(t)=exp(t)∫[0,t]exp(-y)*(f(y))^3dy…(Ans.1)
となるので
g'(t)=g(t)+(f(t))^3
　　=(f(t))^3+exp(t)∫[0,t]exp(-y)*(f(y))^3dy …(Ans.2)
ということですね。なお、最後の式の積分は
定積分なので積分変数のyは他の文字に置き換えても問題ないですね。

【正誤の確認法】f(x)に適当な具体的関数（たとえばf(x)=sin(x)など）に置き換えて実際に
g(t)やg'(t)を求めて見るとA#1の結果は正しくないことが確認できます。
お騒がせしました。