x方向のナビアストークスの式からx方向のレイノルズの方程式を導くとどのようになりますか?

A 回答 (1件)

一次元のレイノルズ方程式の求め方ということでしょうか?



Re方程式の導出は大まかに次のような手順です
・慣性力項および体積力項を無視,膜厚方向圧力勾配無視などの条件でNS方程式を簡略化
・膜厚方向に積分しx方向速度を求め,単位幅当たりの質量流量を求める.
・これらを流量連続式に代入し,まとめる.
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Qレイノルズの基礎方程式 (3次元)

こんにちは。流体潤滑で、レイノルズ方程式(3次元)を導出させる課題を行っています。

摩擦面にすきまにx,y,z軸をとって、上の面がx方向にU_2、y方向にVで動き、下の面がx方向にU_1の速度で動くとする。その隙間にある油膜内の一点P(x,y,z)での、x、y、z方向の油の速度を(u,v,w)とすると、各方向に運動方程式が立てられる。

η(∂^ 2 /∂^2y)=∂P/∂x
η(∂^2v/∂^2y)=∂P/∂y=0
η(∂^2w/∂^2y)=∂P/∂z

【注】ここで、(∂^ 2 /∂^2y)は2回微分を示す。

この問題における境界条件

y=0 ⇒ u=U_1, v=w=0
y=h ⇒ u=U_2, v=V, w=0

を用いて2回積分を行うと、

u= {U_1+(U_1-U_2)×[h-y]/ h} +{-(y[h-y]/ 2η(∂P/∂x)}
v=V y / h
w={-(y[h-y]/ 2η(∂P/∂z)}

が得られ、この3式と連続の式より、次のレイノルズ基礎方程式が得られる。


∂/∂x(h^3×∂P/∂x)+∂/∂z(h^3×∂P/∂x)=
6η(U_1-U_2)(∂h/∂x)+6ηU(∂/∂x)(U_1+U_2)+12ηV


自分はこのレイノルズ基礎式を導出したいのですが、
(1)2回積分を行った時のuの式が違う
u= {U_1+(U_2-U_1)×y/h} +{-(y[h-y]/ 2η(∂P/∂x)}
となってしまう。

(2)連続の式の使い方

がうまく理解できずに導出することができません。
参考に出来る本や、サイト、他に解答例があったらアドバイスよろしくお願いします。

こんにちは。流体潤滑で、レイノルズ方程式(3次元)を導出させる課題を行っています。

摩擦面にすきまにx,y,z軸をとって、上の面がx方向にU_2、y方向にVで動き、下の面がx方向にU_1の速度で動くとする。その隙間にある油膜内の一点P(x,y,z)での、x、y、z方向の油の速度を(u,v,w)とすると、各方向に運動方程式が立てられる。

η(∂^ 2 /∂^2y)=∂P/∂x
η(∂^2v/∂^2y)=∂P/∂y=0
η(∂^2w/∂^2y)=∂P/∂z

【注】ここで、(∂^ 2 /∂^2y)は2回微分を示す。

この問題における境界条件

y=...続きを読む

Aベストアンサー

(2)のヒントだけ。

・v=V y / hは使いません。
・連続の式は∂ρ/∂t + ∂/∂x(ρu) + ∂/∂y(ρv) + ∂/∂z(ρw) = 0
を使います。今回は式を見るに非圧縮性流体らしいのでρは全部消えます。
・単位幅当たりの流量qx、qyはu,vが出ているのですぐに出ます。u,wをy方向に0~hで積分してください。
・∂/∂x(∫f(x,z)dz) = ∫(∂/∂x(f(x,z)))dz + ∂h/∂x(f(x,h))を使って連続の式をqx,qyを使える形に変えてください。


あと答えがおかしい気がするのですが・・・
∂/∂x(h^3×∂P/∂x)+∂/∂y(h^3×∂P/∂y)=
6η(U_1+U_2)(∂h/∂x)+6ηh(∂/∂x)(U_1+U_2)+12ηV
なのではないですか?

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q円筒座標におけるナビエストークス方程式の導出を教えてください.

デカルト座標でのナビエストークス方程式
を円筒座標系(r,φ,z)での式に変換するために
円筒座標系のナブラとラプラスを求めて,
速度を代入てみたのですが
計算しても出ない項があって困っています.

特にわからないのは
r方向の式の左辺の中で4つ目の項です.
-vφ^2/r 
(vφは周方向の速度です.)
何かヒントやアドバイスがあれば教えてください.

Aベストアンサー

>特にわからないのは
r方向の式の左辺の中で4つ目の項です.
-vφ^2/r 
式の全体が載っていないので4つ目の項といわれても??ですが、∇とからラプラス等を円筒座標系に変換するには次の展開を使ってコツコツやればでてくるのではないでしょうか、、、
x=rcosφ、y=rsinφ、z=z
∂r/∂x=cosφ、∂r/∂y=sinφ、∂φ/∂x=-sinφ/r、∂φ/∂y=cosφ/r
∂/∂x=∂r/∂x・∂/∂r+∂φ/∂x・∂/∂φ=cosφ・∂/∂r-sinφ・∂/(r∂θ)、∂/∂y=∂r/∂y・∂/∂r+∂φ/∂y・∂/∂φ=sinφ・∂/∂r+cosφ・∂/(r∂θ)
尚、ココ↓も参照してみてください。
http://odn.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=964656

Qポテンシャル流れ

頭の悪い質問かもしれませんが・・
流体力学で、非粘性かつ非圧縮性の「理想流体(完全流体)の渦無し流れ」のことを、「ポテンシャル流れ」と呼ぶのはなぜですか?

Aベストアンサー

渦無し流れ
rotv=0
のとき
v=gradφ
とスカラー関数(ポテンシャル関数)
の勾配で速度がきまるから

Qgrad、div、∇

物理なのか、数学なのかという感じなのですが・・・。

まず、grad、div、∇について、分かりやすく教えていただけませんか?。
それから、たとえば、圧力pがあったとして、「grad p」の物理的意味を教えて頂けるとうれしいです。

数学も物理も苦手なので、詳しく分かりやすく教えて頂けると幸いです。

よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

ふつうの関数 f(x) では,x を動かしたとき,
f(x)の変化の様子が f'(x) = df(x)/dx で表されますね.
これの3次元版が grad と思えばOKです.

例えば,圧力 p なら,それが一般には場所によって変わります.
x,y,z の3座標で場所が指定できますから,p は x,y,z の関数で
p(x,y,z) と書けばよろしい.
そこで,場所を動かしたとき,p の変化の様子が知りたいとします.
でも,動かすと言ったって3次元なんだから,方向を決めないと困ります.
そりゃ,そうですよね.
大気圧考えてみれば,今いる場所から
水平方向に 10km 動いたってあまり気圧は変わりませんが,
空の方向に 10km 動けばエベレスト
(最近は,チョモランマとかサガルマータとか呼ぶかな)
より高くなって,気圧はうんと下がっちゃいます.
で,y,z 方向には全く動かず,x 方向にだけ動いたとします.
このときの p の変化の割合は,偏微分を使って ∂p(x,y,z) / ∂x ですね.
同様に,x,z を固定して y だけ動かせば,変化の割合は ∂p(x,y,z) / ∂y,
x,y を固定して z だけ動かせば,変化の割合は ∂p(x,y,z) / ∂z.
つまり,以上の3つの偏微分で変化の様子がわかります.
ばらばらに3つ扱ってもいいですが,
ベクトル表示にして
x 成分が ∂p(x,y,z) / ∂x,
y 成分が ∂p(x,y,z) / ∂y,
z 成分が ∂p(x,y,z) / ∂z,
というベクトルにしたのが grad p です.
ベクトルにしておくと,
表示が簡単なことの他にもいろいろ便利なことがあります.

なお,creol さんの回答ははちょっと混乱されているようです.
p は圧力(の強さ)そのもの,grad p は p の変化の割合です.
その場所での圧力は p です.

div は,creol さんも書かれているように,発散です.
極限値が発散する,などの発散とは全く違いますので,念のため.
例えば,水流中に仮想的な直方体を考えてください.
水流は流れの方向がありますからベクトル量ですね.
で,場所にもよりますから,j(x,y,z) と書きましょう.
テキストファイルじゃうまく書けないですが,j はベクトルです.
この直方体の面を通って単位時間あたりに流れ出ていく水量(流出量)が
本質的に div j です(本当はちょっと修正がいる,後述).
直方体の6面分全部考えてくださいよ.
水量ですから,スカラー量ですね.
え? 流出量ばかりじゃ直方体の中の水がどんどん減っちゃう?
ええ,それでいいんです.
つまり,div j は直方体の中の水量ρ
(スカラー量,本当は密度ですが)
の単位時間あたりの減少分を表しています.
式で書くなら, div j = - ∂ρ / ∂t です.
右辺のマイナスは減少だからついているんです.
ふつうの水流(例えば,川なんか)なら?
div j の計算のときに,流出量をプラスとして考えているので,
入ってくる分(流入量)はマイナスで考えてください.
ごくふつうに川が流れているとき,
上流の方から流入量と,
下流側への流出量は同じですよね.
そうすると,プラマイうち消して,div j = 0,
直方体の中の水量は時間変化しません.

え,直方体の大きさ?
あ,それはですね,十分小さくとってください.
小さくとれば,流入量も流出量も小さくなっちゃう?
実は,正味の流出量を直方体の体積で割って
直方体を小さくした極限が本当の div j です
ρが本当は密度だと言ったのもこういうところと関係があります.

微分で表現すれば
div j(x,y,z)
= ∂jx(x,y,z) / ∂x + ∂jy(x,y,z) / ∂y + ∂jz(x,y,z) / ∂z
です.
jx は j の x 成分,他も同様.


∇の記号は creol さんの書かれているとおり.
読み方は「ナブラ」(nabla) です.
ちょっと変わった名前ですが,
竪琴(形が似ている)のギリシヤ語名から来ています.

grad,div,と並んでベクトル解析でよく出てくるものに
rot (rotation,回転)があります.

わかりやすく,ということで回答してみました.

ふつうの関数 f(x) では,x を動かしたとき,
f(x)の変化の様子が f'(x) = df(x)/dx で表されますね.
これの3次元版が grad と思えばOKです.

例えば,圧力 p なら,それが一般には場所によって変わります.
x,y,z の3座標で場所が指定できますから,p は x,y,z の関数で
p(x,y,z) と書けばよろしい.
そこで,場所を動かしたとき,p の変化の様子が知りたいとします.
でも,動かすと言ったって3次元なんだから,方向を決めないと困ります.
そりゃ,そうですよね.
大気圧考えてみれば,今いる...続きを読む

Q壁面せん断応力の導出で

毛細管流量計を使って流体粘度を測定する実験をしました。

ニュートン流体が直径Dの円管内を管内平均流速vで流れる時、
層流における壁面せん断応力τwとせん断速度8v/Dの関係は
 τw=μ(8v/D)・・・(1)
μはその温度における流体の粘度だそうです。

また、流出した体積をV0、流出時間をtとすると、
V0=(πD^2/4)vtであるから、管内平均流速vは
v=4V0/πD^2tで求められる。すると
 τw=(ρgD/4L){Hi-(θv^2)/(2g)}・・・(2)
ρ:流体密度、g:重力加速度、L:毛細管長さ
Hi:水槽水位、θ:補正係数(=2.8)

このように、τwを表す2つの式がさも当然のように書かれています。
が、教科書を見ても載っていない式であり、
θのような聞いた事も無いような値まで入っていて、
どのように導出すれば出てくるのか判りません。
2つの式の導出方法を教えて下さい。

Aベストアンサー

後半の質問に回答します。

ベルヌーイの定理を使います。
水槽の水面と毛細管出口でベルヌーイの式をたてて、、
ρgHi=Δp+θ*ρv^2/2 (1)

ところで、
Δp=4τL/D (2)
ですから、
(1)(2)よりΔpを消去し、整理すれば
ご質問の式が出てきます。

Qエクセルにおける、グラフの指数表示に関して

縦軸を片対数表示にした際、標準では1、10、100、…1000000と目盛りにラベルされますが、指数にすると、1E+00、1E+01…と表示されてしまいます。この様なEを使った表示ではなく、10の0乗(10 0)、10の1乗(10 1)…と、一般的に筆記する指数をグラフに表示させるにはどうしたら良いのでしょうか。何卒、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

 お問い合わせのような、10(の)n(乗)のような表示形式はできないと思われます。

 Y軸の表示形式、1.E+01のような形式は、特におかしくないと思われますし、学術研究会等の報告でも、そのような表記でグラフを掲載している例を多数見ます。

 それでも、お問い合わせにあるような表示形式に似せたいというのでしたら、n乗表示に類似させる方法で代用するのはいかがでしょうか。
 各データ値を、=LOG(セルのデータ値,10)に変換した関数式を代入し、グラフに当てはめます。
 Y軸の書式設定で、表示形式は標準、目盛の、「対数目盛を表示する」のチェックをはずし、okします。
 n乗に相当する数値が、Y軸に表示されます。
 しかし、これでは単位が分からなくなってしまいますので、グラフのY軸のラベル(グラフ→グラフのオプション→タイトルとラベル内)に、指数値などと入れておけば、第三者が見ても理解できるかと思います。

Q速度ポテンシャルと流れ関数

二次元非圧縮性流れでx,y方向の速度成分が

u=2xy
v=x^2-y^2+1

であるとき、速度ポテンシャルφ、流れ関数ψの
求めからが分かりません。

ぜひ、教えてください。

Aベストアンサー

W(z)=φ+iψ とおくと、

dW/dz = u-iv
   = 2xy-i(x^2-y^2+1)
   = -i(z^2+1)

より、両辺をzで積分して

W(z) = ∫(-i(z^2+1))dz
   = -i(z^3/3 + z) + const.
   = -i((x+iy)^3/3 + (x+iy) + C0+iC1
   = x^2y-y^3/3+y+C0 + i(xy^2-x^3/3-x+C1)

よって

φ = x^2y-y^3/3+y+C0
ψ = xy^2-x^3/3-x+C1

となります。

Q「ご連絡いたします」は敬語として正しい?

連絡するのは、自分なのだから、「ご」を付けるのは
おかしいのではないか、と思うのですが。
「ご連絡いたします。」「ご報告します。」
ていうのは正しい敬語なのでしょうか?

Aベストアンサー

「お(ご)~する(いたす)」は、自分側の動作をへりくだる謙譲語です。
「ご連絡致します」も「ご報告致します」も、正しいです。

文法上は参考URLをご覧ください。

参考URL:http://www.nihongokyoshi.co.jp/manbou_data/a5524170.html

Qエントロピー変化の計算

完全気体の圧力がPiからPfまで等温変化するときのエントロピー変化を計算せよ、という問題があります。しかしどのように計算すれば良いのか分かりません。この答えはΔS=nR*ln(Pi/Pf)だそうです。

以下は自分の考えです。
dS=dq/T と表されるのでΔS=∫(dq/T)=q/T (積分範囲はi→f)となり、熱を求めようと思いました。
等温変化なのでΔU(内部エネルギー変化)=q+w=0 (q:熱 w:仕事)が成り立ち、q=-wとなり、仕事を求めばいいと思うのですがどのようにwを求めていいのか分かりません。圧力一定で、体積が変化する場合なら求められるのですが・・・。

どなたかお分かりになる方、教えていただければ幸いです。

Aベストアンサー

なんだか、質問も回答もいまひとつ混乱しているようなので強いて補足させてもらうと、
まず熱力学第一法則というのはdQ=dU+pdV
これは、系(気体)に加えられた微小熱量dQが、
系の内部エネルギーの微小変化量dUと、系が行った
微小仕事pdVの和になるということです。

それで、今は等温変化だから、理想気体ではdU=0
よって、dQ=pdV
そして、可逆過程ではdS=dQ/T
よって、系のエントロピー変化の"総量"は
∫dS=∫pdV/T=∫p/TdV また、pV=nRTより両辺の微分を取ると
d(pV)=d(nRT)⇔pdV+Vdp=nRdT(nもRも定数だからです)
そして今dT=0より、結局pdV=-Vdp 状態方程式でVをpであらわし
よって、∫dS=∫pdV/T=∫-Vdp/T=∫-(nR/p)dp
=-nR[logp](p=pi~pf)
=nRlog(pi/pf)

余談ですけど、なぜ可逆過程なのにエントロピー変化があるのかというと、ひとつは、断熱系と混同しがちだからです。dS≧dQ/Tというのが、一番基本的なものなのです。断熱系dQ=0の場合のみdS≧0となりエントロピー増大則になります。また
等温変化の可逆過程では、dS=dQ/Tと、=になりましたけど、
これを高熱源や低熱源を含めた全体の系に適用すると、全てを含めた全体は断熱系になっているから、
dQ=0より、エントロピー変化はありません。
質問の場合なら、一見エントロピーはΔS=nR*ln(Pi/Pf)
と増加しているようですが(膨張を過程),それは気体のエントロピーのみ考えているからであり、
完全気体が高熱源から準静的に熱量Qをもらっている
はずで、逆に言うと高熱源は熱量Qを失っています。
だから、高熱源はエントロピーQ/Tだけ失っているから
完全気体と高熱源をあわせた系のエントロピー変化は
-Q/T+nR*ln(Pi/Pf)=0となって、結局全体で考えれば
エントロピー変化はありません。カルノーサイクル
の例も一応挙げとくと、
高熱源のエントロピー変化量:-Q/T1
低熱源〃:(Q-W)/T2
ですけど、カルノーサイクルの効率は1-(T2/T1)より
W=Q(1-T2/T1)∴低熱源:Q/T1となって、高熱源と低熱源
をあわせた系全体のエントロピーの変化はありません。

なんだか、質問も回答もいまひとつ混乱しているようなので強いて補足させてもらうと、
まず熱力学第一法則というのはdQ=dU+pdV
これは、系(気体)に加えられた微小熱量dQが、
系の内部エネルギーの微小変化量dUと、系が行った
微小仕事pdVの和になるということです。

それで、今は等温変化だから、理想気体ではdU=0
よって、dQ=pdV
そして、可逆過程ではdS=dQ/T
よって、系のエントロピー変化の"総量"は
∫dS=∫pdV/T=∫p/TdV また、pV=nRTより両辺の微分を取ると
d(pV)=d(nRT)⇔pdV+Vdp=nRdT(nもRも定数...続きを読む


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