アルキメデスの定理の証明

Question

大学の数学の問題です。

「アルキメデスの定理をワイエルシュトラスの定理を使って証明せよ。ただし、デデキンドの定理は使ってはならない。」

こんな問題でした。
デデキンドの定理を使う証明ならできるのですが、これはどうしたらいいのか分からなくて・・・
ワイエルシュトラスの定理を使おうとしても、どうしてもデデキンドの定理の話になってしまいます。
だれか分かる方がいたらよろしくお願いします。

ちなみにここで言うアルキメデスの定理とは「どんな実数ｘに対してもｘ＜ｎとなるようなｎが存在する」、ワイエルシュトラスの定理とは「有界な集合は上限、下限をもつ」ということです。

settheory · Accepted Answer

その背理法の方針でいけるように思います。
＞すべての自然数ｎに対してｎ＜＝ｘ」となるようなｘが存在すると仮定します。
そのようなｘの集合をB、Bの補修合をAとします。
そうすると（A、B）は切断となり、Aは上に有界なのでワイエルシュトラスの定理より上限（最小上界）が存在し、それをｓとおきます。

Aが自然数全体を含んでいることが容易にわかります。（ある自然数で抑えられる実数はBに入らないので。n<n+1より）これより、sはAの上界なのでBに属します。任意のnに対しn<=s　より、n<n+1<=s　とすることによって不等式から=をはずすことができます。（自然数全体の、真の上界になっているということ）

ここでs－1を考える。Bの任意の要素はＡの上界となるので、s－1はAの要素となる。（s－1がBの要素とすると、sが最小上界であることに矛盾）よって、ある自然数Nがあって s－1<=N　、即ち　s<=N+1　となる。一方、先の議論より、N+1<s　なので、これは（実数が全順序であることに）矛盾。

要はsが無限大の数のようなものになってしまい、おかしいということだと思います。切断した時、自然数がどちらに入ってるかがポイントではないでしょうか。解析は専門でないので、あまり詳しいことは知りませんが・・

arrysthmia · Answer

確認しました。
No.2 は、陳謝の上、撤回します。スミマセン。

何でか、(W)⇔(C) のような気がしてましたが、
間違いでした。　___orz

gef00675 · Answer

確認させてください。考えている順序体をＲとかくこととして、
（Ａ）アルキメデスの定理
と、
（Ｄ）デデキントの切断
はいいとして、
「ワイエルシュトラスの定理」とは
（Ｗ）Ｒの空でない部分集合Ａが上に有界であれば，上限(＝最小上界) supＡがＲの中に存在する。（言葉を下に有界、下限(＝最大下界)、inf Aで置き換えてもよし）
だったでしょうか？それとも
（Ｍ）「単調増加で、上に有界な実数列は収束する」
　　（言葉を単調減少、下に有界で置き換えてもよし）
を指していますか？

手元の本を開くと
（Ｄ）から出発して、それを使って
（Ｗ）を証明し、その系としてついでに（Ｍ）を示し、
補題（supの必要十分条件)
「s＝sup A　⇔(i)「a∈A⇒a≦s」かつ(ii)「Rの元sよりちょっとでも小さいＲの元をとってみれば、それは必ずそれより大きいＡの元が存在する」
を使って、背理法によって、（Ｗ）⇒（Ａ）を証明するという筋書きになっています。
背理法の概略は、（Ａ）でないとすると、上界をもつ集合Aが作れるから（Ｗ）の仮定が使えて、上限s=sup Aを決めることができる。ところが、その上限sは、上の補題の必要十分条件(i),(ii)と、（Ａ）の否定の３つを同時に満たすことはできない。という筋書きでした。

この証明には、途中に（Ｄ）を使うことなく（Ｗ）のことだけから（Ａ）を導いていますから、質問のことを示すには、これも一つの方法であると思います。

蛇足ですが、（Ａ）の帰結として有理数がＲの中で稠密であることがいえて、これにＲの極限値の存在を保証する公理（（Ｃ）コーシー列、あるいは（Ｋ）区間縮小法）を加えること、いわゆる完備化を行えば、逆に、（Ｗ）や（Ｄ）を示すことができます。
もう一つ、（Ｂ－Ｗ）ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理を基礎にしてもＲが構成できることが知られています。
まとめると、
(D)⇔(W)⇔(M)⇔(K)&(A)⇔(BW)⇔(C)&(A)
上に述べたことは大学１年の微分積分の最初のほうでならうことであって、上級になるともっと細かい条件の相互関係があると聞きます。

ちなみに（Ａ）の成り立たない非アルキメデス順序体（例えば有理関数体）であっても、その順序に関し完備化（ＱからＲを作ったように）はできることはできるんでしょうけど、そもそもlimの意味がもはや実数や有理数の場合と全然違うものになってくるでしょうし、一体（Ｗ）のようなことが本当にいえるのか、浅学にして知りません。

詳しくは岩波数学辞典の「実数」の項や
このへんを簡潔にまとめたサイトを参考にしてください。
http://www2.rikkyo.ac.jp/web/hoshi/2008/top7.pdf

例によって、的外れな回答だったらごめんなさい。

koko_u_u · Answer

>なのでこの問題を考えるとき、
>「ワイエルシュトラスの定理⇒デデキンドの定理⇒アルキメデスの定理」
>のように考えてしまうのです。

だから、それを補足に。
多分、あなたは教科書に書いてある証明を読んだだけで、考えてはいません。
人に答えを聞いても頭は柔らかくならないですよ。

arrysthmia · Answer

その証明は、無理っぽい。

確か、
有理形関数の体 { Σ[k = -m → +∞] (c_k)(x^-k)　｜　c_k は皆実数 } に
辞書式順序を入れたものは、非アルキメデス的完備順序体だったはず。

ということは、この体では、ワイエルシュトラスの定理は成り立つが、
アルキメデスの定理は成り立たない…ということだ。

このような実例がある以上、実数にせよ、他のどんな体にせよ、
ワイエルシュトラスの定理からアルキメデスの定理を証明することは
できない。

だから、アルキメデスの公理は、実数の定義の一部なんじゃないのか。

koko_u_u · Answer

>ワイエルシュトラスの定理を使おうとしても、
>どうしてもデデキンドの定理の話になってしまいます。

まずは、それを補足にどうぞ。

アルキメデスの定理の証明

確認しました。

確認させてください。

この回答への補足

その背理法の方針でいけるように思います。

>なのでこの問題を考えるとき、

この回答への補足

その証明は、無理っぽい。

>ワイエルシュトラスの定理を使おうとしても、

この回答への補足

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