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tanθ=2/9.8

という式から関数電卓や三角関数表を用いずにθを求める方法って
ありますか?
ちなみに11.5度なんですが、これを計算で出せますか?
お願いします。

A 回答 (6件)

・TAN が 2/9.8 とは微妙。


 2/9.8 = 0.20408 .....

45 度の半角のまた半角 11.25 度だと、tan 値は 0.19891 ......

・ATAN は 11.534....度。

Pade 近似の一例があったので試行してみると、11.542...度。
     ↓
 http://www.users.qwest.net/~kmaxon/page/side/mol …
>Pade approximation for atan(x)
// x(15+4x^2)/(15+9x^2)
 
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こんにちは。



2/9.8 って、1に比べるとかなり小さい数なので、
簡単な近似が使えます。
非常に覚えやすいです。

簡単な近似とは、
θ ≒ sinθ ≒ tanθ
です。
(ただし、θの単位はラジアンです。)

つまり、
θ ≒ 2/9.8 (単位はラジアン)
ということです。

度の単位に直したければ、180をかけてπで割ればよいです。
πを3.14・・・とすると面倒くさいので、
まずは、
×180÷π → ×180÷3 → ×60
にしちゃいます。

つまり、
!!! 角度が小さいときは、タンジェントかサインに60をかければ、だいたい「度」になる !!!
ということです。

2/9.8×60 ≒ 12
12度ですね。

もうちょっと真面目にやると、
2/9.8×180÷3.14 = 11.7度



以下、蛇足。

高速道路や線路で、「4%」とか「3/1000」という、勾配を表す標識があります。
あれは、タンジェントです。

よって、
「4%」の勾配は、だいたい 0.04×60 = 2.4度
「3/1000」の勾配は、だいたい 3/1000×60 = 0.18度
です。
「4%」って、実際走ってみると結構な坂道なんですけど、度で表すと意外に小さいです。

ちなみに、θが小さいとき
θ ≒ sinθ ≒ tanθ
というふうになることについては、
高校の数学で三角関数の微分を習うときに、教科書の図にあったと思います。
lim[θ→0] sinθ/θ = 1
の説明辺りで。


以上、ご参考になりましたら幸いです。
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マクローリン展開


arctan(x)≒x*(1-((x^2)/3)) (x<<1)
を使った計算式は次の通りになります。
θ=x*(1-((x^2)/3))*57.30 [°]
x=2/9.8≒0.2041を代入すれば
θ≒11.53°≒11.5°
と出てきます。
(理論値はθ=11.5346です。)
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>ちなみに11.5度なんですが、・・・



この程度の誤差を許してもらえるなら、シンプソン法を使ってみましょうか。しかもたった2分割の。

θ=arctan(2/9.8)で、arctanθをθで微分すると1/(1+θ^2)なので、
θ=∫[0→(2/9.8)](1/(1+θ^2))dθ
です。
2分割のシンプソン法は、下端の値、上端の値、その中間値の、1:1:4の重み付き平均を出して、積分の幅を掛ければいい。

下の値は1/(1+0^2)=1
上の値は1/(1+(2/9.8)^2)≒0.980016
中間の値は1/(1+{(0+2/9.8)/2^}2)=0.98969

これの1:1:4の重み付き平均は (1+0.980016+4×0.98969)/6≒0.98646

積分の幅(2/9.8)-0=0.20408を掛けて 0.201318

で、これはradなので、πで割って180を掛けて度に換算すると、 11.53469度

わずか2分割のシンプソン法ですが、なんと小数第4位まで正しくて、割合にすると10万分の1以下の誤差です。
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計算で求める方法テイラー級数を使います


興味があるならどうぞ
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tan(11.5°)=0.2034522994・・・


一方 2/9.8=0.204081632・・・

ですから、ご提示の両辺は近い値ですが「イコール」ではありません。
別の言い方をすれば式から求まるθは「約11.5度」にすぎません。このような式から正確に角度を求めることは不可能です。
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