積分の値

積分の値の求め方をご教授下さい。
∫x~3/(x~2+a~2)dxです

No.1 ベストアンサー 回答者： tksmsysh 回答日時： 2009/07/04 23:07

分母の字数をa、分子の字数をbとします。

一般に、a≦bの分数の積分はa＞bとなるまで字数を減らしましょう。

(解答)
∫x^3/(x^2+a^2)dx
=∫{x(x^2+a^2)-xa^2}/(x^2+a^2)dx
=∫{x-xa^2/(x^2+a^2)}dx
=∫xdx-a^2∫x/(x^2+a^2)}dx

(第1項)=(x^2)/2+A　(Aは積分定数)
(第2項)=-(a^2)/2∫1/(t+a^2)dt (t=x^2と置換した)
　　　 =-{(a^2)log|x^2+a^2|}/2+B　(Bは積分定数)

よって、
(与式)=(x^2)/2-{(a^2)log|x^2+a^2|}/2+C (Cは積分定数)

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/07/04 23:13

素直に分母を t として置換積分.

No.3 回答者： info22 回答日時： 2009/07/04 23:19

ヒント）

x~3/(x~2+a~2)=x-(a^2)x/(x^2+a^2)
と分割すれば
容易に積分できます。
∫x~3/(x~2+a~2)dx=(1/2)x^2-((a^2)/2)∫(x^2)'/(x^2+a^2)dx

後はできるだろう。

分からなければ、やったところまでの式の詳細を補足に書いた上で、行き詰って分からない所を質問して下さい。

No.4 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/07/06 00:52

x = a tanθ で置換するのも、

ワリと素直だったり。