指数関数×三角関数の積分

(e^x)×(cosx)の部分積分を解く問題なのですが、
I=∫(e^x)×(cosx)dx
=(e^x)(cosx)+∫(e^x)(sinx)dx
=(e^x)(cosx)+(e^x)(sinx)-∫(e^x)(cosx)dx
∴I=1/2(e^x)(cosx+sinx)+C
と、模範解答に書いてあったのですが、
(e^x)(cosx)+(e^x)(sinx)-∫(e^x)(cosx)dxが1/2(e^x)(cosx+sinx)+Cになる、という所がいまいちわかりません。
初歩的な質問で申し訳ないのですが、教えて頂けたら有り難いです。

あと、似た問題で(e^x)(sinx)の積分を解く問題もあったのですが同じように1/2(e^x)(-cosx+sinx)+Cという形になったりするのでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： haragyatei 回答日時： 2009/07/20 16:09

(e^x)(cosx)+(e^x)(sinx)-∫(e^x)(cosx)dx

の　∫(e^x)(cosx)dx　は元の積分なのでこれをＩとおいて
左辺に移項すると２Ｉとなります。両辺を２で割れば
求める式が出てきます。

この回答へのお礼

早くのご回答有難うございます。分かり易い説明で理解することができました。本当に有難うございました。

お礼日時：2009/07/20 16:43

No.5 回答者： cont711#2 回答日時： 2009/08/01 10:47

デカルト座標というのは、高校で習うようなxy直交座標のことです。

極座標というのは、それを(r,θ)で表すようなものです。（実はこれも直交なのですが…）


テストでやったものがよくわからないですが、たぶん一緒だと思います。オイラーの公式から
----------------------------------
e^(ix) = cos(x) + isin(x)…（１）
e^(-ix) = cos(-x)+ isin(-x)
= cos(x) - isin(x)…（２）
------------------------------------
です。

[(1)+(2)]/2から
○cosx = e^(ix) + e^(-ix) / 2

[(1)-(2)]/2iから
○sinx = e^(ix) - e^(-ix) / 2i

です。
フツーはこうやって導いてきますが、よく使うので導くまでもなく皆さん暗記してるようです。

質問の意味がうまく汲み取れなかったのですが、ご質問の答えになってるでしょうか…？？

この回答へのお礼

デカルト座標とはxy座標のことなのですね！知識不足ですみません…。
分かりづらい質問に丁寧に答えて下さってありがとうございます。
その通りです。オイラーの式から導き出す方法です。同じようなので安心しました。お礼が遅くなってすみませんでした。ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2009/08/02 02:46

No.4 回答者： cont711#2 回答日時： 2009/07/31 23:07

No.3さんがご覧になってないようなので、とりあえず私が補足を回答しておきますね。

おっしゃる通りオイラーの公式です。
e^ix=cosx+isinx
という式が成り立つ式です。
テイラー展開とかで軽く証明されることが多いです。
複素平面上だとe^ixが回転を表すので、極座標とデカルト座標の関係みたいな感じで簡単にイメージできます。

これを使うと
sin x = (e^x - e^(-x))/(2i),
cos x = (e^x + e^(-x))/2
が導けます。
実はこれは理系には"常識"レベルのことでして、暗記ものです。
（もちろん私が高校生の時は知りませんでした）

このオイラーの公式を使うと
e^(1+i)x=(e^x)(e^ix)=(e^x)(cosx+isinx)
になるということですね。

この回答への補足

理系では常識レベルなのですね。全く知りませんでした。理系の大学に入ってオイラーやら三角関数やらを初めて見た人間なので残念ながら複素平面の入り口までしか理解できていません(デカルト座標がわかりませんでした)
テストで出てきた公式を使ってsinxとcosxを指数関数で表しなさい(複素数と共役複素数から２つの値を求めるものです)の答えに似ていたので、それと同等のものだと認識しているのですがあっているのでしょうか。分かりづらい説明ですみません。
重ね重ねご面倒ですが教えて頂けたら幸いです。

補足日時：2009/08/01 09:25

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/07/21 11:26

イメージなら

sin x = (e^x - e^(-x))/(2i),
cos x = (e^x + e^(-x))/2
と指数関数で表すのが簡単.
もっと手を抜くなら
∫ e^(1+i)x dx = e^(1+i)x/(1+i) = e^x (cos x + sin x)/2 + i e^x (sin x - cos x)/2
と
e^(1+i)x = e^x (cos x + i sin x) = e^x cos x + i e^x sin x
の両辺を比較する, って方法もある.

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
えっと、sin x = (e^x - e^(-x))/(2i)、e^(1+i)x 、とありますが、これはオイラーの式を使って解く方法なのでしょうか？
…すみません、e^xで表される指数関数が何たるか分かっていません。
間違っていたらすみません。

補足日時：2009/07/26 12:31

No.2 回答者： cont711#2 回答日時： 2009/07/20 18:01

No.1さんが既に答えてくれてますね。

ちなみになんですが、微分してから解くのもよく使われる方法です。
複雑なものになると計算ミスしやすいので、こちらの方を知っとくと便利なこともあります。

((e^x)*(cosx))'=-(e^x)*(sinx)+(e^x)*(cosx)・・・(1)

((e^x)*(sinx))'=(e^x)*(sinx)+(e^x)*(cosx)・・・(2)

（(1)+(2))/2から

(e^x)*(cosx)=｛ ((e^x)*(sinx))' + ((e^x)*(cosx))' ｝/2
左辺の積分が、求めたいヤツです。
なので、右辺を積分してやったらご質問の答えが導けます。

同様に、(e^x)(sinx)の積分も考えられます。
(1/2)*(e^x)*(sinx-cosx)になるかと思います。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！微分してから解く方法は知りませんでした。微分の方法を知ることが出来て、さらに式の組み立ての意味が分かりました。わかりやすい説明、ありがとうございました。

お礼日時：2009/07/26 12:31