3つの数と最大公倍数について

a<b<cを満たす自然数a,b,cがありa,b,cの最大公約数が12、最小公倍数が216である。このようなa,b,cの組は何組あるか

の問題があるのですが、
、
解答には
a=12a' b=12b' c=12c'（a',b',c'の最大公約数１）
とおけて、
a',b',c'の最小公倍数は、216÷12=18
と出ているんですが
なぜ、216÷12という式で最小公倍数が分かるのですか？
理由がいまいち分かりません・・
どうかよろしくお願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： x_jouet_x 回答日時： 2009/07/28 01:44

a,b,cの最大公約数が12のとき、a=12a',b=12b',c=12c'とおくとa',b',c'は互いに素である(共通の素因数を持たない)ことは分かりますか？

互いに素であることを理解していることとして説明を続けますが・・・。
a',b',c'が互いに素であるので、a',b',c'の最小公倍数はa'×b'×c'になります。
一方、今a=12a',b=12b',c=12c'とおいているので、a,b,cの最小公倍数は12×a'×b'×c'になります。

問題ではa,b,cの最小公倍数が216であるので、
12×a'×b'×c' = 216
a'×b'×c' = 216÷12 = 18
となり、 a',b',c'の最小公倍数は18になります。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
でも
(a' , b' ,c')=(2 9 18)
のようなa' b' c'が互いに素でなくてもa b c の最大公約数は12になることがあります
だから必ずしも12×a'×b'×c'=216ではないような気がするんですが

どうして216を12で割ればa',b',c'の最小公倍数が求まるのでしょうか？？
？

お礼日時：2009/07/28 10:38

No.4 回答者： OKWaveGT5 回答日時： 2009/07/28 13:44

２１６を素因数分解すると

２×２×２×３×３×３
１２を素因数分解すると
２×２×３

a、b、cに当てはまる数字は
１２、２４、３６、７２，１０８、２１６
この数字は１２に１，２，３，６，９，１８をかけた数字

２×２×２×３×３×３から２×２×３をとると
２×３×３

つまり、a,b,cは１２に１８の素因数をいくつか組み合わせてかけた数字になるから
ということではないですか？

この回答へのお礼

回答していただいたすべての方、本当にありがとうございました。


理解することができました無事

お礼日時：2009/08/01 01:02

No.3 回答者： x_jouet_x 回答日時： 2009/07/28 12:45

回答#1の者です。

> (a' , b' ,c')=(2 9 18)
> のようなa' b' c'が互いに素でなくてもa b c の最大公約数は12になることがあります

「互いに素」と書いてしまうと２つの数に関して考えてしまいますね。
３つの数の場合は「全てに共通する素因数がない」と書いた方が良かったですね。
失礼しました。

さて、３つの数の最大公約数は「全てに共通する素因数」を全てかけたものです。
例えば12,18,30の最大公約数を求めてみると
12=2×2×3
18=2 ×3×3
30=2 ×3 ×5
なので、全てに共通する素因数(３つの数全てが持っている素因数)は2が１つ、3が１つあるので2×3=6になります。

一方、(a',b',c')=(2,9,18)を考えてみると、
2= 2
9= 3×3
18=2×3×3
となり、2は「2と18」が素因数として持っていますが、「9」が素因数として持っていません。
また、3は「9ち18」が素因数として持っていますが、「2」が素因数として持っていません。
つまり３つの数全てに共通する素因数がないため、この３つの数の最大公約数は1になります。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/07/28 12:01

直観的な理解でよければ

「x, y, z のうちの最大値を max {x, y, z} で表すことにすると
max {x, y, z} - k = max {x-k, y-k, z-k}
だから」
というのが最も簡単かな. 素因数分解して考えてください.