どなたか解き方を教えてください！！

周囲の長さが24cm、面積が24平方cmの直角三角形の3辺の長さを求めなさいとあるのですが、一瞬で頭の中で6cmと8cmと10cmと浮かんだんですが、
これでは他の長さや面積で問題が出てしまったら答えることができないので、どなたか解き方を教えてください！！

No.4 ベストアンサー 回答者： mko900 回答日時： 2009/08/13 17:17

もっといい解法があるとおもうのですが・・。

自分の解法はこんな感じになりました。
斜辺をa,残りの２辺をそれぞれｂ,cとおく(ただし長さなのでa>0かつb>0かつc>0)
すると以下の条件式が生まれる。
a+b+c=24(周囲の長さから)・・(1)
1/2bc=24（面積から）・・(2)
b^2+c^2=a^2（ピタゴラスの定理から）・・(3)
これをゴリゴリ式変形をしながら解いていきます。
(3)を変形する
(3)⇔(b+c)^2-2ab=a^2
これに
(1)⇔b+c=24-a,(2)⇔bc=48
を代入。計算して整理するとうまい具合にa^2が消えて
48a=480
というところまで整理でき、これを計算してa=10
次にb,cを求める。
a=10なので(1)に代入し整理すると
b+c=14・・(4)
(4)⇔ｃ=14-b
これを
(2)に代入すると1/2b（14-b）=24
となりこれを展開して整理すると
b^2-14b+48=0
これは因数分解できて
(b-6)(b-8)=0
よってb=6またはb=8
したがって
b=6のときC=8
c=8のときb=6
になる。
ゆえに
a=10,b=6,c=8
a=10,b=8,c=6
(a>0かつb>0かつc>0を満たしている)
図形的に２つの場合がある。

No.3 回答者： jam-best 回答日時： 2009/08/13 16:53

まったく同じ質問があるので参照してください。

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …

No.2 回答者： egarashi 回答日時： 2009/08/13 16:50

直角を挟む2辺の長さ:x,y

斜辺の長さ:√(x^2+y^2)

としましょう。すると、

周囲の長さ:x+y+√(x^2+y^2)=24…(1)
面積:xy/2=24…(2)

(2)より、
xy=48…(3)

(1)より、
√(x^2+y^2)=24-(x+y)…(4)

両辺を2乗すると、
x^2+y^2={24-(x+y)}^2…(5)

ここで、
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy…(6)

であるので、(5)と(6)より、
(x+y)^2-2xy={24-(x+y)}^2…(7)

(7)の右辺を展開して、
(x+y)^2-2xy=24^2-48(x+y)+(x+y)^2…(8)

(3)を(8)に代入し、整理すると、
-2×48=24^2-48(x+y)

48(x+y)について解くと、
48(x+y)=24^2+2×48

両辺を48で割って、
x+y=12+2=14…(9)

(3)と(9)を満たすx,yは、
x=6,y=8およびx=8,y=6…(10)

である(因数分解のノリで)。
(10)と三平方の定理より、斜辺の長さは、
√(6^2+8^2)=10

となる。よって、

直角を挟む2辺の長さ:6cm,8cm
斜辺の長さ:10cm

となる。
あんまりsmartなやり方が思いつきませんでした…

No.1 回答者： sono0315 回答日時： 2009/08/13 16:47

3辺をx,y,zとする(zが斜辺

(1)周囲が24より
x+y+z=24

(2)3平方の定理より
x^2+y^2=z^2

(3)面積24より
xy=48

(2)＋2×(3)より
x^2+2xy+y^2=z^2+96
(x+y)^2=z^2+96

これに(1)を代入
(24-z)^2=z^2+96
…
z=10

の様に求められます