「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

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★放物線y=x^2+2ax+aがx軸と異なる2点で交わるように、aの値が変化するとき、この放物線の頂点Pの軌跡を求めよ
(指針)P(x,y)とすると、x,yはaで表わされる。aを消去して、x,yの関係式を導く。

指針・解答を見て解きましたが、途中から分からなくなってしまいました…
分かりやすく説明して頂けると嬉しいです^^
回答よろしくお願いします。

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A 回答 (5件)

こんばんわ。


与えられた2次関数の式から頂点の座標を求めるところまではいいと思います。
「x軸と異なる2点で交わるように、aの値が変化する」という条件を考えましょう。
これはaがとりうる値の範囲を与えることになります。

通常ならば「判別式」といきたいところですが、
グラフを考えると下に凸になるので頂点がx軸よりも下にあればよいことに気づきます。
この判別式と頂点のy座標の関係は同じことをしめしています。
すなわち「同値」ということです。

頂点のx座標とy座標をそれぞれX,Yとでもおいて、aで表します。
比較的簡単な変形でaを消去できます。
最後に、aの値には範囲がついているので、それをXの値の範囲になるよう置き換えます。
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#2です。



A#2の補足について
>こんな感じです。左矢印の部分くらいから混乱してしまいました
チャンとA#2のアドバイスの手順でやれば出来たじゃないですか?
やり方の手順を覚えて、自信をもってやりましょう。

>Pは放物線y=-x^2-xのx<-1,x>0
軌跡は
y=-x^2-x (x<-1,x>0)

で合っていますよ。
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この回答へのお礼

ありがとうございます・゜・(つД`)・゜・

がんばります…

お礼日時:2009/11/16 20:27

#1です。



a<0,1<a……(1)
x=-a
より x<-1,x>0

x=-aなので、(1)の不等式も-aの形にしましょう。
両辺に-1をかけるので、不等号の向きに注意です。
その後、-aをxに置き換えます。

>「逆に この図形上の任意の点は条件を満たす」
これは「ほんとにこの図形上にあれば成り立つの?」ということを保証するものです。
いまは、2次関数という連続関数を扱っているので、特に問題ありません。
分数関数(分母が0となるような場合)などが出てくるときには、
このような検証をしないといけません。
表現を変えると、ありえない(とることのない)値を答えに含んでいないかどうかを確認しているということです。
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この回答へのお礼

なるほどです…

回答ありがとうございました!

お礼日時:2009/11/16 20:26

ポイントが2つあります。


(1)y=x^2+2ax+aがx軸と異なる2点で交わるように、aの値
(2)放物線の頂点P(x,y)をaで表わす。

(1)はy=0とおいた判別式が正ということからa<0またはa>1
(2)y=x^2+2ax+a=(x+a)^2+a-a^2より頂点座標P(x,y)はx=-a, y=a-a^2
故に
y=x-x^2, x>0 またはx<-1
を図示すればよい
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>指針・解答を見て解きましたが、途中から分からなくなってしまいました…


>分かりやすく説明して頂けると嬉しいです^^
解いた式を全部補足に書いて頂かないと、間違い箇所がわかりませんので、
それに付いて説明も不可能です。

あなたのやった解答をそのまま補足にお書き下さい。

放物線が2点でX軸と交わるための条件
右辺=0の判別式 D>0 →aの範囲が決まります。
頂点の座標 (x,y)=(-a,a-a^2)は分かりますね。
>aを消去して、x,yの関係式を導く。
これも出来ますね。

この回答への補足

P(x,y)とする

放物線がx軸と異なる2点で交わるための条件は
 D/4=a^2-a>0
これを解いて a<0,1<a ……(1)
x^2+2ax+a=(x+a)^2-a^2+a であるから
 x=-a,y=-a^2+a
x=-aからa=-x ……(2)
これをy=-a^2+aに代入すると y=-x^2-x
また、(2)を(1)に代入して   x<-1,x>0      ←

よって Pは放物線y=-x^2-xのx<-1,x>0の部分にある
逆に この図形上の任意の点は条件を満たす

こんな感じです。左矢印の部分くらいから混乱してしまいました(´・ω・`)よろしくお願いします…

補足日時:2009/10/10 18:29
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次に解が2個ともプラスの条件は
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4a-2√(4a^2+2a-6)>0 ---(4)
の両方が成立する時
(4)より、a>0---(5)
また(4)を移項すると、
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両辺を2乗すると、
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24>8a
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