素因数分解と約数の個数

こんばんわ。早速ですが、質問に移らさせていただきます。

例えば、36=2の2乗×3の2乗、と素因数分解できます。このように、素数の積にする事により　約数の個数が解ります。この場合、
(指数+1)×(指数+1)が、約数の個数になります。

このような公式を学んだところなのですが、具体的な整数でいろいろと試してみましたが、なぜ、そのような公式になるのかが、検討もつきません。何か、手がかりがあれば、よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： masa0720 回答日時： 2003/05/05 00:09

これは組み合わせの問題にも関わってきます。

2を0乗する、2を1乗する…、また
3を0乗する、3を1乗する…、ということで、掛け算の式が
9つできますよね。
2^0×3^0=1
2^1×3^0=2
2^2×3^0=4
2^0×3^1=3
2^1×3^1=6
2^2×3^1=12
2^0×3^2=9
2^1×3^2=18
2^2×3^2=36
このように(指数+1)×(指数+1)が何通りの数ができるかということが、
約数の数になるわけです。

分かりにくい文章でごめんなさい

この回答へのお礼

素因数と指数で、全ての約数が表現できるとは・・・。感動です。後は、組み合わせでもれなく表現できると。すばらしい。ありがとうございました。

お礼日時：2003/05/05 00:16

No.2 回答者： help33 回答日時： 2003/05/05 00:10

どうもこんばんは。

文章で説明するのが下手なので参考になるかどうかわかりませんが。。
これは約数がその素数をいくつ含むかどうかという意味です。
12=２の２乗×３で考えてみましょう。
１２の約数は１、２、３，４,６,１２ですよね。それぞれ以下のように表せます。
１＝２の０乗×３の０乗
３＝２の０乗×３の１乗
２＝２の１乗×３の０乗
６＝２の１乗×３の１乗
４＝２の２乗×３の０乗
１２＝２の２乗×３の１乗
このように約数は素数を何回かかけることで求まります。つまり２を０回、１回、２回かける、３を０回、１回かけることにより約数が求まるのです。さらに分かりやすく言うと、”指数”はその素数を何回かけるか、”＋１”はその素数を使わないときということを意味しているのです。

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございました。おかげさまで理解が深まりました。

お礼日時：2003/05/05 00:18