微積分の問題なのですが
(1) y + x*dy/dx = x^2
(2) y'' - 3y' + 2y = 2x - 1
(3) x^2 + 2xy + (x^2 - y^2)*y' = 0
(4) xy*(y')^2 - (x^2 - y^2 - 1)*y' - xy = 0 (x^2 = X , y^2 = Y とおく)
この4問がどうしてもわかりません
(1)は y*dx + x*dy = x^2*dx から進めません
(2)は p=y'とおくと、p' - 3p + 2y = 2x - 1 までです
(3)は 全然わかりません
(4)は xy*p^2 - (X-Y-1)*p - xy = 0までできたのですが、因数分解できず進めません
本当に困っています
わかる方いましたら回答をお願いします
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(1) 教科書の1階線形微分方程式のページを読む
(2) 教科書の定数係数線形微分方程式+未定係数法(or定数変化法)のページを読む。
(3) 教科書の完全微分形微分方程式のページを読む
(4) やってないけど、もしこの微分方程式が解けるとするなら、多分ヒントどおりに置き換えると、
Y = f(X, dY/dX) … (1)
と書けるようになるはずです。(こうならなかったら、ヒントがどこかおかしい)
この両辺をXで微分すると、P=dY/dX に関する微分方程式になるはずです。で、この微分方程式が解けるんだと思います。(変数分離、同次形、リカッチなどの形になる)
そうしたら、その P=dY/dX を(1)に代入すればよい。
No.2
- 回答日時:
(1)の微分方程式は1階線形微分方程式の形だと思います.
まず(右辺)=0の場合を解きます.(右辺)=0とおくと
xy'+y=0
で,これを変形すると
y'/y=-1/x
となり,変数分離形なので積分して
y=C/x (Cは積分定数)
となります.
この積分定数Cをxの関数とみなしてもとの微分方程式に代入します.
(定数変化法というそうです)
するとy'=(C'x-C)/x^2なので
C'=x^2
が得られます.積分して
C=x^3/3+A (Aは積分定数)
よって解は
y=x^2/3+A/x
となります.
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