No.1
- 回答日時:
まずf(x)の式を平方完成(頂点を求める式)します。
軸の方程式がx=aになりますね。
二次関数のグラフは下に凸、軸に関して左右対称なので、
軸と範囲によって最大値・最小値が変わります。
まず、座標軸(x軸・y軸)をかいてみましょう。
定義域の0<=x<=1を座標平面にかきこみます。
軸のx=aが、もし範囲より左にあれば
グラフが一番低くなるのはx=0、高くなるのがx=1のときです。
軸のx=aが、もし範囲の中にあれば最小値は頂点だけど、
範囲のちょうど真中にx=aがあれば
最大値はx=0,1のときになりますが、(左右対称)
少しでも左にずれれば最大値はx=1、
少しでも右にずれれば最小値はx=0のときです。
軸のx=aが、もし範囲より右にあれば、
最小値はx=1、最大値はx=0のときです。
範囲は0から1、とハッキリ決まっているので、
まず座標平面でそこを印しておいて、
グラフを左右に動かしていくと、
範囲内での最大値・最小値がわかります。
よって、場合わけは、
a<0
0<=a<1/2
a=1/2
1/2<a<=1
a>1
の5通りです。
”=”等号はどちらにつけてもかまいません。
他にもたぶん、教えてくださる方がいらっしゃると
思いますが、よくわからなければ補足要求お願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
type2000さん、こんにちは。
>f(x)=X^2-2aX+2aの0<=X<=1における最大値M、最小値mとするとき、2M-mの最小値は?
f(x)=x^2-2ax+2aとします。これを変形すると、
=(x-a)^2+2a-a^2
となるので、これは、頂点(a,2a-a^2)で下に凸の放物線であることが分かります。
xの定義域に範囲がなければ、このグラフは、頂点で最小値になるのは、いいですね。
だけど、0≦x≦1という範囲がついているので、
頂点のx座標x=aが、この定義域に入っているか、いないか、また入っていたら
どのあたりにあるかによって、最大値・最小値をとりうるxの値が変わってきます。
1)a<0のときy=f(x)は、0≦x≦1では、単調増加になるので
このときの最大値はf(1)=1-2a+2a=1
最小値はf(0)=2a
2)0≦a<1/2のとき
最大値は、f(1)=1
最小値は、頂点であるからf(a)=a^2-2a^2+2a=2a-a^2
3)1/2≦a<1のとき
最大値はf(0)=2a
最小値は、頂点であるからf(a)=2a^a^2
4)1<aのとき0≦x≦1では、このグラフは単調減少であるから
最大値はf(0)=2a
最小値はf(1)=1
その、それぞれについて、2M-mを求めていけばいいですね。
1)a<0のとき
2M-m=2-2a>2
2)0≦a<1/2のとき
2M-m=2-(2a^a^2)
=(a-1)^2+1
これは、a=1/2に近づくとき最小となり、2M-m=5/4に近づくので
2M-m>5/4
3)1/2≦a<1のとき
2M-m=4a-2a+a^2
=(a+1)^2-1
これは、a=1/2のとき最小となり、2M-m=5/4
4)1<aのとき
2M-m=4a-1>4-1=3
1)から4)より、2M-mの最小値は、5/4(このときa=1/2)
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