線形代数と行列の関係

行列は、大学では線形代数、ベクトル(？)と関係があると聞いたのですが、これはどういう意味なのでしょうか？
教科書には線形代数・ベクトルとの関係はでてないので？です。
また行列は、数学では関数がよく関連してますが、関数とも関係があるのでしょうか？

ちなみに今高３です。
宜しくお願いしますm(__)m

No.1 ベストアンサー 回答者： apple-man 回答日時： 2003/05/15 00:30

　線形代数で回転行列というのがありますよね。

点（ｘ、ｙ）を角度θ回転させて、点（ｘ’、ｙ’）
に移動させるというもの。

　これ、原点からのX+Yの合成ベクトルを回転させてるん
ですが・・・

　こんな説明でいかがでしょう？

この回答へのお礼

まだ回転行列というのはならってないのでよくわからないのですが、習ったら参考にさせていただきます。
ありがとうございました！

お礼日時：2003/05/18 12:36

No.2 回答者： apple-man 回答日時： 2003/05/15 00:58

＞また行列は、数学では関数がよく関連してますが、関数とも関係があるのでしょうか？

　代数学というのは、ちょっとアバウトな表現を
すると、「具体的な★数字の★代わりに記号を
使って計算する」学問ですから。

　（数字の計算）
　６＝２・３

　（代数学的計算）
　ｙ＝ｆ（θ）・ｇ（ｘ）

ｆ（θ）、ｇ（ｘ）は関数の場合もあるでしょうし、
具体的に２，３の場合もある。回転行列と点（X,Y)
が入れば点を移動する回転行列になる。

　交換法則が成り立つとか、成り立たないとか
一次線形独立とか、線形代数の線形とは
こういう式の関係がなり立つという説明が
あると思います。
　そうゆう線形性が成り立つ代数学というのが
線形代数ですので、★数字の★代わりに使う記号
は行列でも関数でもまた具体的な数字でも
構わないわけです。

No.3 回答者： noname#24477 回答日時： 2003/05/15 07:03

線形代数はベクトルを扱う学問

ｎ変数のときｎ次元ベクトルを考えればよい。

行列とは元々1次方程式の係数を並べてできたもの
関数を調べるにもその係数で決まるから行列の性質を調べればよい。

またベクトルは1行だけの行列と見ることもできる

興味があれば大学で勉強してください。大事な分野です。

この回答へのお礼

わかりやすい回答どうもありがとうございます。

なにかわかりやすそうな読み物みたいな本があったらよんでみようかとおおもいます。

お礼日時：2003/05/18 12:45

No.4 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/05/15 09:39

stripeさん、こんにちは。

線形代数学に興味を持っておられるんですね。いいことだと思います。

ここに線形代数学の教科書があります。
その序論のところ、最初の書き出しです。

「本書は行列と行列式に関する最も基礎的な理論およびその根底に横たわる
ベクトル空間や一次写像の概念を説明したものである」
つまり、行列はベクトルと関係あるんですね。

簡単に言えば、m,n個の数字を(m>0,n>0の整数）
縦にn,横にmの長方形に並べて書いたものを、
n行m列の行列といいます。
（高校までは、２×２行列が主でした）
略して(n,m)行列などといいます。

さて、そのそれぞれのnm個の数を、その成分というのはいいですね。
ここで、同じ横線上に並んでいる、m個の数の組を、その行列の「行」
第１行、第２行・・・第ｎ行といいます。
同じ縦の線上に並んでいるｎ個の数の組を、その行列の「列」といい、
第１列、第２列・・・第ｍ列といいます。

さて、(n,m)行列を、行と列に分けてみた場合、
それぞれ、m次元、n次元のベクトルとみなすことができます。
それぞれを、「行ベクトル」「列ベクトル」と呼びます。

線形代数学では、このことを基本として、行列とベクトルの関係を考えたり
ｎ次元ベクトル空間というものを考えていったりします。
特に、理工系に進まれる人にとっては、欠かすことのできない
数学的教養の一つといえると思います。
是非、その興味を失わず、大学に進まれても、勉強されることをお勧めしたいです。
ご参考になればうれしいです。

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
やはりベクトルとは関係があるんですね。

参考にさせていただきます。
ありがとうございました！

お礼日時：2003/05/18 12:59

No.5 回答者： apple-man 回答日時： 2003/05/15 09:56

Ｎｏ．１の私の回答の補足です

＞　これ、原点からのX+Yの合成ベクトルを回転させてるんですが・・・

　回転行列では点（Ｘ，Ｙ）を移動させているだけ
のようですが、点（Ｘ，Ｙ）というのは
ベクトル（Ｘ，０）とベクトル（０、Ｙ）の
合成ベクトルと考えることができます。



　あとＮｏ．３の方が
＞線形代数はベクトルを扱う学問

　と答えていらっしゃいますが、代数学といえば
多項式など、数論も扱う学問で、そのうち
線形関係が基本となる代数学を扱うもので
ベクトルとは限りません。

　今は行列を使い、Ａ・Ｂ＝Ｂ・Ａ
といった交換関係が成り立つかどうか、
いわゆる逆行列の関係や、そのときの
行列式といったものをやっていると思い
ますが、これは大学の数学科や、物理学科で
理論物理学などをやる際に出てくる、群論と呼ばれる
学問の基礎をやっているのです。
　群論は今高校でやられている集合論、および
その関連事項として出てくる写像等を組み合わせた
分野でです、今やられている単位行列とか交換
関係が成り立つ条件は、アーベル群と呼ばれて
います。

　
　

この回答へのお礼

三回もご回答いただきありがとうございます。

まだ交換についても習ってないのですが、とりあえず掛け算のときは交換してはいけないということだけは習いました。

＞群論は今高校でやられている集合論、および
その関連事項として出てくる写像等を組み合わせた
分野でです、

まだ行列というのがなにをしているのかわかってないですが、写像というのは
点を写す関数みたいなものだということででしょうか？

お礼日時：2003/05/18 12:43

No.6 回答者： jmh 回答日時： 2003/05/15 10:02

大雑把に言うと…。

「線形」とは「１次」の難しい言い方です。
１次とは、例えば１次関数とはｙ＝Ａｘというようなモノです。でも、ｘ，ｙがベクトル、Ａが行列になってます。
「線」形とは（グラフとかが）曲がってないコトと言ったほうが直感的かもしれません。

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。

線形って言うのは曲がってないってことなんですね。
参考にさせていただきます。
ありがとうございました！

お礼日時：2003/05/18 13:01