ヘリウムの全エネルギー

ヘリウム原子の運動エネルギー、ポテンシャルエネルギー、電子間反発のエネルギーをそれぞれ別々に求めて足し合わせると、∫ψHψdτとして全エネルギーを計算した場合と等しくなるんでしょうか？（ピッタシ数値が合うと言う意味ではなく、理論的にと言う意味で）

また、ハミルトニアンをH=-1/2∇²-1/2∇²-2/r1-2/r2+1/r12とすると、ポテンシャルエネルギーは∫φ(r1)*1/r12φ(r1)dr1と∫φ(r2)*1/r12φ(r2)dr2でいいんでしょうか？？

運動エネルギーはどう計算したらいいんでしょうか？

宜しくお願いします！！

No.3 ベストアンサー 回答者： 101325 回答日時： 2009/12/02 19:48

> ヘリウムの核電子間距離ｒの平均を求めることって出来ますか？

はい。できます。

> ヘリウムの場合動径関数がわかりません。

ヘリウムや他の多電子原子の場合、核電子間距離ｒの平均値<r>は各原子軌道ごとに求めるのがふつうです。計算の仕方は、水素の1s軌道の動径関数を使って水素原子の<r> を求めるときと同じです。ヘリウムならば、ヘリウムの1s軌道の動径関数を使えば <r>1s が求まります。一般の原子の場合は、1s, 2s, 2p, ... 軌道の動径関数を使って、それぞれ<r>1s, <r>2s, <r>2p, ... 等を求めることができます。

軌道によらない核電子間距離ｒの平均は、電子数で重みをかけて <r>1s, <r>2s, <r>2p, ...の平均をとれば求めることができるはずですけど、そのような計算はあまり見たことがないです。ただし、ヘリウム原子（の基底状態）ならば、２個の電子は両方とも1s軌道に入っていますから、核電子間距離ｒの平均は<r>1sに等しくなります。

No.2 回答者： 101325 回答日時： 2009/11/30 18:51

> ヘリウム原子の運動エネルギー、ポテンシャルエネルギー、電子間反発のエネルギーをそれぞれ別々に求めて足し合わせると、∫ψHψdτとして全エネルギーを計算した場合と等しくなるんでしょうか？

はい。等しくなります。

> ポテンシャルエネルギーは∫φ(r1)*1/r12φ(r1)dr1と∫φ(r2)*1/r12φ(r2)dr2でいいんでしょうか？？

いいえ。違います。それぞれ ∫φ(r1)*(-2/r1)φ(r1)dr1 と ∫φ(r2)*(-2/r2)φ(r2)dr2 になります。

> 運動エネルギーはどう計算したらいいんでしょうか？

φ∝exp(-a r)ならば、∇^2 を極座標で書いて少し計算すれば、 ∫x^n exp(-x) dx の形の積分に帰着できます(n = 1 または 2)。

がんばって下さい。

この回答への補足

もしよかったら教えてほしいのですがヘリウムの核電子間距離ｒの平均を求めることって出来ますか？水素の場合なら動径関数とｒで積分しますがヘリウムの場合動径関数がわかりません。

補足日時：2009/12/01 07:46

この回答へのお礼

>いいえ。違います。それぞれ ∫φ(r1)*(-2/r1)φ(r1)dr1 と ∫φ(r2)*(-2/r2)φ(r2)dr2 になります

書いた後に間違いにきずきました！

>φ∝exp(-a r)ならば、∇^2 を極座標で書いて少し計算すれば、 ∫x^n exp(-x) dx の形の積分に帰着できます(n = 1 または 2)。

がんばって下さい。

ありがとうございます！

お礼日時：2009/11/30 23:45

No.1 回答者： doc_sunday 回答日時： 2009/11/30 13:08

真空中に一つだけ存在する場合、運動エネルギーは定義不能です。

もちろん電子や核に運動エネルギーはありません。